Messbar impliziert stetig bei linearen Operatoren

15/12/2010 - 00:05 von Hans Crauel | Report spam
In einer aktuellen Arbeit findet sich die Behauptung, dass jede
Borel-messbare lineare Abbildung zwischen zwei `hinreichend
schoenen' topologischen Vektorraeumen beschraenkt (und somit
stetig) sei. Fuer diese dort als `hochgradig nichttriviale
Tatsache' bezeichnete Aussage werden zwei Quellen benannt:

Laurent Schwartz, Sur le theoreme du graphe ferme,
C.R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B 263 (1966) A602-A605

M.P. Kats, Continuity of universally measurable linear
mappings, Sibirsk. Mat. Zh. 23, no. 3 (1982) 83-90, 221.

Leider wird in der genannten Arbeit nicht genauer gesagt, was
`hinreichend schoen' genau bedeuten soll. Man kann sich relativ
leicht Beispiele fuer (offenbar nicht hinreichend schoene)
Raeume basteln, wo die Aussage wohl nicht zutrifft. Etwa der
Raum der endlichen R-wertigen Folgen mit Supremums-Norm mit
der Abbildung Tx(n) = n x(n) fuer n in N gibt ein Beispiel.

Frage an die Experten:
Gibt es dazu schon etwas in aktuellen (Lehr-) Buechern?

Hans Crauel
 

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#1 Martin Vaeth
15/12/2010 - 17:43 | Warnen spam
Hans Crauel wrote:

In einer aktuellen Arbeit findet sich die Behauptung, dass jede
Borel-messbare lineare Abbildung zwischen zwei `hinreichend
schoenen' topologischen Vektorraeumen beschraenkt (und somit
stetig) sei.



Meinst Du wirklich Borel-messbar und nicht, dass der Graph
eine Borelmenge ist?
(In `hinreichend schoenen' Raeumen ist das sicher aequivalent,
aber die Sàtze, die ich kenne, sind meist als Verallgemeinerung
des Satzes vom abgeschlossenen Graphen formuliert...)
Eine der stàrksten Aussagen dieses Typs wird in der
folgenden Arbeit als Nebenresultat bewiesen:

J.D.M. Wright, Functional Analysis for the Practical Man,
283-290 in Functional Analysis: Surveys and Recent Results
(Proc. of the Conference on Functional Analysis, Paderborn,
Germany 1976) (ed: K.-D. Bierstedt, K.-D. and B. Fuchssteiner)
North-Holland, Amsterdam 1977.

Etwa der
Raum der endlichen R-wertigen Folgen mit Supremums-Norm mit
der Abbildung Tx(n) = n x(n) fuer n in N gibt ein Beispiel.



Der Raum ist alles andere als `schön': unvollstàndig, mager,
nicht-Baire, ...
In obiger Arbeit sollte die Abbildung von einem Frechet-Raum X
in einen topologischen Suslin Vektorraum Y gehen.
Alternativ kann X auch ultrabornologisch sein und Y lokal
konvex Suslin.
Letzteres ist vermutlich auch die Voraussetzung in der
Arbeit von Schwarz.

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