Min-entropie und Wahrscheinlichkeiten

18/09/2008 - 00:17 von Bernd Schneider | Report spam
Hi,

ich habe eine aehnliche Frage bereits in sci.math gestellt, aber leider
bisher noch ohne Antwort. Sorry fuer cross-posting.

Zunaechcst kurz zur Wiederholung die Definition der Minentropie: Eine
Zufallsvariable R hat min-entropie n, wenn fuer alle r, die R annehmen kann
gilt: Pr[R=r] <= 2^{-n}.

Nun, zu meiner eigentlichen Frage: Sei A eine Zufallsvariable
gleichverteilt ueber {0,1}^n, und sei B eine zweite Zufallsvariable
definiert ueber {0,1}^n mit min-entropie n-m, dann soll das folgende gelten
(allerdings sehe ich leider nicht so genau warum das der Fall sein sollte):
Wir definieren ein Ereigniss E (das von A abhaengig ist), so dass Pr[E] >=
2^{-m} und so dass unter der Bedingung, dass E erfuellt ist, A die gleiche
Verteilung wie B besitzt, d.h. Pr[A=a|E=true] = Pr[B=a]

Ist diese Aussage korrekt, d.h. kann ich ein solches Ereigniss tatsaechlich
definieren und gilt fuer dieses auch tatsaechlich: Pr[R=r] <= 2^{-n}?


Ich habe mal ein wenig darueber nachgedacht und ehrlich gesagt glaube ich
nicht, dass es korrekt ist, denn:
Pr[E] = Pr[A=a,E=true]/Pr[A=a|E=true] = Pr[A=a,E=true]/Pr[B=a]

= Pr[A=a,E=true]*2^{n-m}.



Damit nun Pr[E] >= 2^{-m} erfuellt ist, muss Pr[A=a,E=true] >= 1/2^n sein.
Da A gleichverteilt ueber {0,1}^n ist, sehe ich im Moment nicht wie das
moeglich sein sollte. Habt ihr irgend eine Idee? Oder habe ich ein
Verstaendnisporblem?

Vielen Danke fuer Hinweise,
Bernd
 

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#1 Detlef Müller
19/09/2008 - 11:59 | Warnen spam
Bernd Schneider wrote:
...
Nun, zu meiner eigentlichen Frage: Sei A eine Zufallsvariable
gleichverteilt ueber {0,1}^n, ...

Wir definieren ein Ereigniss E (das von A abhaengig ist), so dass Pr[E] >=
2^{-m} und so dass unter der Bedingung, dass E erfuellt ist, A die gleiche
Verteilung wie B besitzt, d.h. Pr[A=a|E=true] = Pr[B=a]



Ist nicht für eine gleichverteilte ZV für einzelne Punkte stets Pr[A=a]
= 0, und mit Pr(E)>0 dann auch Pr(A=a|E)=0?

Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

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