Minimale freie Ultrafilter in der Rudin-Keisler-(Pre-)Ordnung

13/11/2007 - 23:13 von Thomas Haunhorst | Report spam
Hallo!

Seit Tagen denke ich über ein Problem nach, dessen Lösung mir nicht
einfallen will. Möglicherweise ist es ganz einfach zu lösen, und ich
sehe den Wald vor lauter Bàumen nicht. Das Problem ist:

(P) Ein Ultrafilter in der Menge der freien Ultrafilter auf IN ist
genau dann minimal (bzgl. der Rudin-Keisler-Ordnung), wenn er /Ramsey/
ist.

Dass auf dieser Menge jeder Ramsey-Ultrafilter minimal ist, habe ich
bereits gezeigt. Ich weiß, dass ein Ultrafilter D Ramsey ist, wenn es
für jedes f:IN->IN ein X aus D gibt, so dass f auf X konstant oder
injektiv ist.

Bisher konnte ich zeigen, dass, falls ein X aus D existiert auf dem f
beschrànkt ist, f auch auf einem Y aus D konstant ist. (Das ist einfach.)

Nun sei f:IN->IN unbeschrànkt auf allen X aus D und D minimal. Hieraus
soll (als Hinweis) folgen, dass D <= f*(D) sein soll, wobei

f*(D) := {X c IN: f''(X) e D} (f''(X) ist das Urbild von X).

Leider kann ich diesen Hinweis nicht zeigen. Allerdings, wenn obiges
gilt, dann ist der Rest einfach.

Ich hatte mir überlegt, ein g:IN->IN zu definieren, so dass D g*(f*(D)) ist (damit wàre ja obiger Hinweis gezeigt). Leider sind
bisher alle Versuche fehlgeschlagen. Ein Versuch möchte ich jedenfalls
noch anschreiben:

Sei X aus D, Y := f(X) das Bild von X. Y ist jedenfalls ein Element
von f*(D). Sei A_n := f''(n), n e Y. (Keines der A_n kann im Filter
liegen.) Sei (a_n) ein Repràsentantensystem von {A_n: n e IN}.
Definiere g:Y->X durch g(n) := a_n für alle n aus Y. g(Y) kann eine
echte Teilmenge von X sein, nennen wir sie X_0. Klar, wenn man zeigen
kann, dass X_0 in D ist, dann ist D Ramsey. Nun, ich habe gerechnet
und gerechnet und komme nicht weiter.

Vielleicht kann mir einer einen kleinen Schubs geben?


Thomas Haunhorst
 

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#1 Thomas Haunhorst
14/11/2007 - 08:32 | Warnen spam
Thomas Haunhorst wrote:

Möglicherweise ist es ganz einfach zu lösen, und ich
sehe den Wald vor lauter Bàumen nicht.



Genau so war es. Denn D <= f*(D) ist klar, weil f*(D) <= D und D
minimal ist, also f*(D) sogar zu D àquivalent sein muss.


Thomas Haunhorst

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