minimale Subtraktion

10/03/2009 - 11:20 von beheiger | Report spam
Liebe Leute,

ich versuche gerade, etwas über feldtheoretische Renormierung im Kontext der
Phasenübergànge und kritischen Phànomene zu lernen.
Ich nehme mal das Standardbeispiel einer phi^4-Theorie in 4-\epsilon
Dimensionen.
Was ich verstehe:

Man kann den nackten Ausgangshamiltonian in einen renormierten Anteil und
Counterterme zerlegen.
Eine Möglichkeit, die Renormierung zu implementieren, i.e. die Counterterme
zu bestimmen, besteht nun darin,
Renormierungsbedingungen zu fordern. In der einfachsten Version (T>T_c,
keine \phi^2-Insertionen) stellt man
3 Forderungen an die niedrigsten renormierten Vertexfunktionen und das
renormierte Feld \ph_R:

1) Gamma_R^2(p=0)=m_R^2
2) dGamma_R^2/dp^2|_{p=0}=1
3) Gamma_R^4(0,0,0,0)=m^\eps g_R

Duch diese Forderungen werden dann m_R, g_R und \ph_R als die physikalischen
Parameter festgelegt
Die drei Forderungen entsprechen ja drei Experimenten, durch die sie im
Prinzip gemessen werden können.

(Q: Korrekt?)

Nun mein Problem:

Bei der "Minimalen Subtraktion" verwendet man die obigen
Renormierungsbedingungen nicht.
Statt dessen werden die Counterterme derart gewàhlt, dass nur der divergente
Anteil der
obigen Ausdrücke eliminiert wird. Der endliche Anteil der Counterterme
bleibt unbestimmt
bzw. wird einfach 0 gesetzt.

(Q: Korrekt?)

Meine dummen Fragen nun:

Q1) Ok, dadurch werden die Korrelationsfunktionen der Theorie
(falls diese grundsàtzlich renormierbar ist) endlich gemacht. Aber: Wie
stellt man denn nun
den Zusammenhang mit den physikalischen Observablen dar? Die "renormierten"
Grössen
m_R, g_R und \phi_R entsprechen nun ja nicht mehr den durch
Experimente der obigen Art gemessenen Größen, oder? Wie kann ich sie mit den
physikalischen Vorhersagen der Theorie in Zusammenhang bringen?

Q2) Die Vorgangsweise, endliche Beitràge der Counterterme wegzuschmeissen,
suggeriert,
dass die Theorie irgendwie invariant unter einer derartigen
Umparametrisierung modulo endlicher
Anteile der Counterterme sein sollte. Ist das eine Art, die
"Gruppeneingenschaft" der
"Renormierungsgruppe" zu verstehen?

Vielleicht kennt jemand von Euch ein Zitat, in dem diese Mysterien
verstàndlich erklàrt werden,
ev. sogar im Kontext der statistischen Physik, sodass man sich nicht vorher
durch 200+ Seiten
relativistische QFT mit QED, Fermionen, Grassmann-Variablen etc.
durchkàmpfen muss.

Danke für jegliche Hilfe,

Andi
 

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#1 Norbert Dragon
10/03/2009 - 12:23 | Warnen spam
* Andi Beheiger schreibt:

Man kann den nackten Ausgangshamiltonian in einen renormierten Anteil und
Counterterme zerlegen.
Eine Möglichkeit, die Renormierung zu implementieren, i.e. die Counterterme
zu bestimmen, besteht nun darin,
Renormierungsbedingungen zu fordern. In der einfachsten Version (T>T_c,
keine \phi^2-Insertionen) stellt man
3 Forderungen an die niedrigsten renormierten Vertexfunktionen und das
renormierte Feld \ph_R:

1) Gamma_R^2(p=0)=m_R^2
2) dGamma_R^2/dp^2|_{p=0}=1
3) Gamma_R^4(0,0,0,0)=m^\eps g_R

Duch diese Forderungen werden dann m_R, g_R und \ph_R als die physikalischen
Parameter festgelegt
Die drei Forderungen entsprechen ja drei Experimenten, durch die sie im
Prinzip gemessen werden können.



Fast richtig.

Die meßbare Masse ist die Nullstelle der (einteilchenirreduziblen)
Zweipunktfunktion.

Der Wert der Zweipunktfunktion bei verschwindendem Impulsübertrag wàre
nur dann die gemessene, physikalische Masse, wenn

Gamma_2(p^2) = p^2 - m^2

linear in p^2 wàre, was aber nach Quantenkorrekturen nicht mehr stimmt.

Zusatz: In Feldtheorien mit masselosen Teilchen muß man etwas
umstàndlicher vorgehen, weil die Forderungen wegen
Infrarotschwierigkeiten nicht erfüllt werden können.

Nun mein Problem:

Bei der "Minimalen Subtraktion" verwendet man die obigen
Renormierungsbedingungen nicht.
Statt dessen werden die Counterterme derart gewàhlt, dass nur der divergente
Anteil der
obigen Ausdrücke eliminiert wird. Der endliche Anteil der Counterterme
bleibt unbestimmt
bzw. wird einfach 0 gesetzt.



Ja.

Demnach haben in minimal subtrahierter Quantenfeldtheorie die Parameter m
und g nicht die Bedeutung der Masse und der Kopplungsstàrke. Vielmehr muß
man die Felder reskalieren, so daß

d Gamma_2 / dp^2 |_{p^2=m_physikalisch^2} = 1

ist und die Masse als Funktion der Parameter m und g von der Nullstelle
der Zweipunktfunktion ablesen

Gamma_2(p^2=m_physikalisch^2) = 0

Zudem folgt die Bedeutung der Parameter m und g aus dem Wert der
Vierpunktfunktion für einen gewàhlten Impulsübertrag

Gamma_4 (p_1, p_2, p_3,p_4) = f(m, g, p_1, p_2, p_3, p_4)

p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 0

Normalerweise wàhlt man die vier Viererimpulse am sogenannten
symmetrischen Punkt (das geht nur für komplexe Vierervektoren)
p_i^2 = M^2, p_i * p_j = 4/3 M^2 für i ungleich j.

dann hàngt diese Kopplung von der Skala M ab, sie ist also keine
Konstante, sondern eine sogenannte laufende Kopplung.

Daß m und g nicht die physikalischen Kopplungen sind, sondern daß die
physikalischen Kopplungen in minimal subtrahierten Theorien Funktionen
der Parameter m und g sind, beschreiben Physiker mit dem blumigen
Bild angezogener (dressed) Massen und Kopplungen.

Um diese Quantenfeldtheorie bei einer Energieskala M bestmöglich
schon in Tree-Ordnung zu approximieren, müssen die Parameter m und g
der tree-Ordnung so bestimmt werden, daß nach Reskalierung der Felder

d Gamma_2_tree / dp^2 |_{p^2=M^2} = 1

Gamma_2_tree / dp^2 |_{p^2=M^2} = M^2 - m_physikalisch^2

und

Gamma_4_tree / dp^2 |_{symmetrischer Punkt, M}

= Gamma_4 (p_1, p_2, p_3, p_4)

gilt.

Q2) Die Vorgangsweise, endliche Beitràge der Counterterme wegzuschmeissen,
suggeriert,
dass die Theorie irgendwie invariant unter einer derartigen
Umparametrisierung modulo endlicher
Anteile der Counterterme sein sollte.



Das Wegschmeißen divergenter Anteile ist mit dem Problem behaftet,
daß endliche Beitràge plus divergente Anteile ebenfalls divergent sind.
Typischerweise kann man nur für Terme vorgegebener algebraischer
Struktur, beispielsweise für rationale Integranden bei Integration über
Viererimpulse, angeben, was man weglassen solle und was der endliche
Anteil ist. Welche Transformationen des Integranden den endlichen
Anteil unveràndert lassen (beispielsweise eine andere Aufteilung der
Impulse in Loopimpuls und àußeren Impuls,) ist meines Wissens nur
beim BPHZL-Verfahren zufriedenstellend geklàrt.

Dimensionale Regularisierung, beispielsweise, ist nicht für
Greensfunktionen mit offenen Spinorindizes erklàrt, sondern sie
müssen mit Gamma-Matrizen ohne Gamma_5 kontrahiert sein.

Vielleicht kennt jemand von Euch ein Zitat, in dem diese Mysterien
verstàndlich erklàrt werden, eventuell sogar im Kontext der
statistischen Physik, sodass man sich nicht vorher durch 200+ Seiten
relativistische QFT mit QED, Fermionen, Grassmann-Variablen etc.
durchkàmpfen muss.



Die Divergenzen der relativistischen Quantenfeldtheorie folgen
aus der Mikrokausalitàtsforderung an die Wechselwirkung L_int

[L_int(x), L_int(y)] = 0 für alle x raumartig zu y.

Ohne diese Forderung kann man problemlos wechselwirkende Modelle
angeben, deren Korrekturen Ordnung für Ordnung endlich sind.

Leider kenne ich keine einfache und richtige Darstellung von
Renormierung. (Ich habe mal Wolfhard Zimmermann gebeten, wenigstens
eine richtige, zusammenfassende Darstellung zu schreiben.)
Zumeist lenken leider die technisch aufwendigen Rechnungen
davon ab, nachzudenken, was man eigentlich tut.

Aberglaube bringt Unglück

www.itp.uni-hannover.de/~dragon

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