Minimierungsproblem mit Absolutbetrag

14/07/2010 - 11:41 von Daniel Krenn | Report spam
Sei
f(z) = (1-1/t) z^w + z/t - 1,
t>=2, w>=2 und t und w ganzzahlig (wenn denn benötigt).
Ich will zeigen, dass |f(z)|>=|f(r)| am Kreis mit Radius r=1+1/(tw^3)
ist. (d.h. in etwa minimiere |f(z)| über alle a mit z=r e^(ia) ).

Klar ist, dass z=r ein (lokales) Minimum ist. Es gilt |f(r)|=f(r). Ich
habe einige (viele) Werte für t und w probiert, ein Plot der Funktion
gibt Anlass zu vermuten, dass es auch das globale Minimum ist.
Eindeutigkeit des globalen Minimums ist aber nicht erforderlich, es
reicht also wirklich |f(z)|>=f(r) auf dem besagten Kreis zu zeigen.

Meine bisherigen Versuche sind leider gescheitert. Die meisten beruhten
auf Umschreiben des Absolutbetrags auf
|f(z)| = 1 + B^2 r^2 + A^2 r^(2w) - 2Bz cos(a)
- 2Ar^w Cos(wa) + 2AB r^(w+1) cos((w-1)a)
mit A=1-1/t, B=1/t, z=r e^(ia). Aber danach scheitere ich immer an den
Ungleichungen, die danke der Differenz
cos(wa) - c cos((w-1)a)
nicht so richtig funktionieren wollen.

Hat jemand Ideen wie ich das lösen kann? Hinweise, Vorschlàge,
Vermutungen, etc., alles ist willkommen.

Liebe Grüße,
Daniel
 

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#1 Thomas Plehn
14/07/2010 - 15:15 | Warnen spam
Am 14.07.2010 11:41, schrieb Daniel Krenn:


Meine bisherigen Versuche sind leider gescheitert. Die meisten beruhten
auf Umschreiben des Absolutbetrags auf
|f(z)| = 1 + B^2 r^2 + A^2 r^(2w) - 2Bz cos(a)
- 2Ar^w Cos(wa) + 2AB r^(w+1) cos((w-1)a)
mit A=1-1/t, B=1/t, z=r e^(ia). Aber danach scheitere ich immer an den
Ungleichungen, die danke der Differenz
cos(wa) - c cos((w-1)a)
nicht so richtig funktionieren wollen.



habe mal mein CAS befragt, vielleicht làsst sich die Ungleichung
leichter mit

|f(z)| $$\sqrt{\left(t^2-2\,t+1ight)\,\left| zight| ^{2\,w}\,\sin ^2
\left(w\,{\it carg}\left(zight)ight)+\left(2\,t-2ight)\,
{\it imagpart}\left(zight)\,\left| zight| ^{w}\,\sin \left(w\,
{\it carg}\left(zight)ight)+\left(t^2-2\,t+1ight)\,\left| z
ight| ^{2\,w}\,\cos ^2\left(w\,{\it carg}\left(zight)ight)+
\left(\left(2\,t-2ight)\,{\it realpart}\left(zight)-2\,t^2+2\,t
ight)\,\left| zight| ^{w}\,\cos \left(w\,{\it carg}\left(z
ight)ight)+{\it realpart}^2\left(zight)-2\,t\,{\it realpart}
\left(zight)+{\it imagpart}^2\left(zight)+t^2}$$

verififizieren, aber ich habe wirklich keine Ahnung

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