Mit dem Vernichtungsoperator werde ich euch alle vernichten

07/07/2013 - 19:57 von UK Number 1 | Report spam
Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators

Matrixelement des Hamiltonoperators für den harmonischen Oszillator bzgl. der Besetzungseigenbasis bzw. der Energieeigenbasis:

Matrixdarstellung des Hamiltonoperators für den harmonischen Oszillator bzgl. der Besetzungseigenbasis bzw. der Energieeigenbasis:

Da die Operatoren und hermitesch sind, folgt dass die zugehörigen Matrizen bzgl. der Eigenbasen symmetrisch sind.
Eigenzustànde bosonischer Kletteroperatoren („kohàrente Zustànde“)[Bearbeiten]

Die Eigenzustànde des Vernichtungsoperators sind die kohàrenten Zustànde . Der Vernichtungsoperator (zur Verdeutlichung sind die -Symbole für die Operatoren hier explizit wieder eingeführt) erfüllt folgende Eigenwertgleichung:

Für den Erzeugungsoperator ergibt sich daraus, mit einem Linkseigenzustand (Bra-Eigenzustand):

Der Vernichtungsoperator kann also - im Gegensatz zum Erzeugungsoperator - Rechtseigenzustànde (Ket-Eigenzustànde) besitzen. Der Erzeugungsoperator erhöht die minimale Teilchenzahl eines Zustandes im Fockraum um eins; der damit entstandene Zustand kann also nicht der ursprüngliche sein. Dagegen verringert der Vernichtungsoperator die maximale Teilchenzahl um eins; da ein Zustand im Fockraum aber Komponenten aller Teilchenzahlen (auch beliebig hoher Teilchenzahlen) beinhalten kann, ist damit nicht verboten, dass Eigenzustànde besitzt. Dies sind die kohàrenten Zustànde:
Der „kohàrente Zustand“ ergibt sich als bestimmte Linearkombination aller Zustànde fester Teilchenzahl und zwar nach der Formel:

Dieser Zustand ist also Eigenzustand des Vernichtungsoperators, und zwar zum Eigenwert wàhrend der zugehörige Erzeugungsoperator nur Links-Eigenzustànde besitzt. Dabei ist eine nichtverschwindende komplexe Zahl, die den kohàrenten Zustand vollstàndig definiert und auch explizit von der Zeit abhàngen darf. ist der Erwartungswert der Besetzungszahl des kohàrenten Zustandes.
Kohàrente Zustànde haben (wie der Grundzustand des Harmonischen Oszillators) minimale Unschàrfe und bleiben bei Zeitentwicklung kohàrent. Mit ihnen làsst sich die – im Allgemeinen explizit zeitabhàngige – elektromagnetische Welle einer Laser-Mode am besten beschreiben (sog. Glauber-Zustànde).
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in Quantenfeldtheorien[Bearbeiten]

In Quantenfeldtheorie und Vielteilchenphysik verwendet man Ausdrücke der Form wobei die komplexe Zahlen sind, wàhrend die Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren darstellen: Diese erhöhen bzw. vermindern die Eigenwerte des Anzahloperators um 1, analog zum harmonischen Oszillator. Die Indizes berücksichtigen die Freiheitsgrade der Raumzeit und haben i.a. mehrere Komponenten. Die Anzahloperatoren sind selbstadjungiert („hermitesch“) und nehmen alle nicht-negativen ganzzahligen Werte an:
Die nichttrivialen Vertauschungsrelationen sind schließlich, wie beim harmonischen Oszillator: wobei [.,.] die sog. Kommutatorklammer darstellt, wàhrend das Kroneckersymbol ist.
Das oben gesagte gilt für Bosonen, wogegen man für Fermionen den Kommutator durch den Antikommutator ersetzen muss, Als Konsequenz gilt im fermionischen Fall, dass die Anzahloperatoren nur die Eigenwerte 0 und 1 haben.
Bezug zu Diagrammtechniken[Bearbeiten]
Konkrete Rechnungen unter Verwendung der Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren kann man in der Regel durch Diagrammtechniken unterstützen (→ Feynman-Diagramme). So kann man z. B. Dreiteilchen-Wechselwirkungen der Form durch drei Linien veranschaulichen, von denen die ersten zwei in einen Vertex einlaufen und dort „vernichtet“ werden, wàhrend eine dritte Linie an diesem Vertex „erzeugt“ wird und von ihm auslàuft. Dabei sind in den zugehörigen Regeln Energie- und Impulssatz explizit zu berücksichtigen.
Der angegebene Term, der einen sog. „Konfluenzprozess“ beschreibt, hat bei tiefen Temperaturen i. A. geringere Wahrscheinlichkeit, als der inverse sog. „Splitting-Prozess“, der zum adjungierten Term, gehört. Denn zu jedem Erzeugungsoperator korrespondiert, analog zum harmonischen Oszillator, die Übergangsrate[1] , wàhrend beim zugehörigen Vernichtungsoperator der Term fehlt. Auf diese Weise sind bei tiefen Temperaturen die letztgenannten Terme in der Regel wichtiger als die erstgenannten.
 

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#1 AGUIRRE
08/07/2013 - 16:48 | Warnen spam
On Sunday, July 7, 2013 7:57:26 PM UTC+2, UK Number 1 wrote:
Hey, PUSSY CAT wie siehts denn mit dem
Arschkriecheroperator aus,
lassen sich durch denn die Arschkrieherzustànde
auch durch die sogenannten Glauber Zustànde beschreiben?
Aguirre
<http://www.youtube.com/watch?v=H2AwX-kSB98>

Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators



Matrixelement des Hamiltonoperators für den harmonischen Oszillator bzgl. der Besetzungseigenbasis bzw. der Energieeigenbasis:



Matrixdarstellung des Hamiltonoperators für den harmonischen Oszillator bzgl. der Besetzungseigenbasis bzw. der Energieeigenbasis:



Da die Operatoren und hermitesch sind, folgt dass die zugehörigen Matrizen bzgl. der Eigenbasen symmetrisch sind.

Eigenzustànde bosonischer Kletteroperatoren („kohàrente Zustànde“)[Bearbeiten]



Die Eigenzustànde des Vernichtungsoperators sind die kohàrenten Zustànde . Der Vernichtungsoperator (zur Verdeutlichung sind die -Symbole für die Operatoren hier explizit wieder eingeführt) erfüllt folgende Eigenwertgleichung:



Für den Erzeugungsoperator ergibt sich daraus, mit einem Linkseigenzustand (Bra-Eigenzustand):



Der Vernichtungsoperator kann also - im Gegensatz zum Erzeugungsoperator - Rechtseigenzustànde (Ket-Eigenzustànde) besitzen. Der Erzeugungsoperator erhöht die minimale Teilchenzahl eines Zustandes im Fockraum um eins; der damit entstandene Zustand kann also nicht der ursprüngliche sein. Dagegen verringert der Vernichtungsoperator die maximale Teilchenzahl um eins; da ein Zustand im Fockraum aber Komponenten aller Teilchenzahlen (auch beliebig hoher Teilchenzahlen) beinhalten kann, ist damit nicht verboten, dass Eigenzustànde besitzt. Dies sind die kohàrenten Zustànde:

Der „kohàrente Zustand“ ergibt sich als bestimmte Linearkombination aller Zustànde fester Teilchenzahl und zwar nach der Formel:



Dieser Zustand ist also Eigenzustand des Vernichtungsoperators, und zwar zum Eigenwert wàhrend der zugehörige Erzeugungsoperator nur Links-Eigenzustànde besitzt. Dabei ist eine nichtverschwindende komplexe Zahl, die den kohàrenten Zustand vollstàndig definiert und auch explizit von der Zeit abhàngen darf. ist der Erwartungswert der Besetzungszahl des kohàrenten Zustandes.

Kohàrente Zustànde haben (wie der Grundzustand des Harmonischen Oszillators) minimale Unschàrfe und bleiben bei Zeitentwicklung kohàrent. Mit ihnen làsst sich die – im Allgemeinen explizit zeitabhàngige – elektromagnetische Welle einer Laser-Mode am besten beschreiben (sog. Glauber-Zustànde).

Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in Quantenfeldtheorien[Bearbeiten]



In Quantenfeldtheorie und Vielteilchenphysik verwendet man Ausdrücke der Form wobei die komplexe Zahlen sind, wàhrend die Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren darstellen: Diese erhöhen bzw. vermindern die Eigenwerte des Anzahloperators um 1, analog zum harmonischen Oszillator. Die Indizes berücksichtigen die Freiheitsgrade der Raumzeit und haben i.a. mehrere Komponenten. Die Anzahloperatoren sind selbstadjungiert („hermitesch“) und nehmen alle nicht-negativen ganzzahligen Werte an:

Die nichttrivialen Vertauschungsrelationen sind schließlich, wie beim harmonischen Oszillator: wobei [.,.] die sog. Kommutatorklammer darstellt, wàhrend das Kroneckersymbol ist.

Das oben gesagte gilt für Bosonen, wogegen man für Fermionen den Kommutator durch den Antikommutator ersetzen muss, Als Konsequenz gilt im fermionischen Fall, dass die Anzahloperatoren nur die Eigenwerte 0 und 1 haben.

Bezug zu Diagrammtechniken[Bearbeiten]

Konkrete Rechnungen unter Verwendung der Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren kann man in der Regel durch Diagrammtechniken unterstützen (→ Feynman-Diagramme). So kann man z. B. Dreiteilchen-Wechselwirkungen der Form durch drei Linien veranschaulichen, von denen die ersten zwei in einen Vertex einlaufen und dort „vernichtet“ werden, wàhrend eine dritte Linie an diesem Vertex „erzeugt“ wird und von ihm auslàuft. Dabei sind in den zugehörigen Regeln Energie- und Impulssatz explizit zu berücksichtigen.

Der angegebene Term, der einen sog. „Konfluenzprozess“ beschreibt, hat bei tiefen Temperaturen i. A. geringere Wahrscheinlichkeit, als der inverse sog. „Splitting-Prozess“, der zum adjungierten Term, gehört. Denn zu jedem Erzeugungsoperator korrespondiert, analog zum harmonischen Oszillator, die Übergangsrate[1] , wàhrend beim zugehörigen Vernichtungsoperator der Term fehlt. Auf diese Weise sind bei tiefen Temperaturen die letztgenannten Terme in der Regel wichtiger als die erstgenannten.

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