Modul-Gleichungssysteme?

02/04/2010 - 12:47 von Markus Wichmann | Report spam
Hi all,

normale GLS sind ja in Matrixform gegeben durch

Ax = b

Ich habe jetzt hier ein GLS gegeben durch

Ax \equiv b (mod 2)

So, und da hab ich ein paar Fragen:

1. für das ganze gilt außerdem noch rank(A) = 9. Das ist also ekelhaft
alleine zu berechnen. Kennt jemand ein Programm, dass das lösen kann?

2. Wenn nicht: Es handelt sich hierbei um ein vmtl. bekanntes Spiel: Ich
habe 9 Glühbirnen in einem 3x3-Gitter angeordnet, immer eine an, eine
aus. Ich kann den Zustand jeder Glühbirne beliebig oft veràndern,
schalte dabei jedoch den Zustand der direkt (nicht diagonal)
angrenzenden Glühbirnen mit um. Wie bekomme ich alle Glühbirnen aus?
Bzw. wie ermittle ich allgemein die dazu notwendigen Schritte? Ich habe
eben jenes GLS aufgestellt. Unabhàngig von den Zustànden der Glühbirnen
ist die Matrix A gleich


1 1 0 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 1 1 0 1 0 0
0 1 0 1 1 1 0 1 0
0 0 1 0 1 1 0 1 0
0 0 0 1 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 0 1 1 1
0 0 0 0 0 1 0 1 1

b ist von den Anfangszustànden der Glühbirnen abhàngig (eine 0 für jede
zu belassende Birne und eine 1 für jede umzuschaltende).

Aber wie löse ich das?

Ich hab mal GNU octave beauftragt, das zu lösen, aber es kann ja
dummerweise nur reelle GLS lösen, also bekam ich nur Lösungen zwischen
-1 und 1. Das war nicht hilfreich. Obwohl,... kann ich aus den Lösungen
von

Ax = b

die Lösungen von

Ax \equiv b (mod 2)

errechnen?

Tschö,
Markus

Progress (n.): Process through which USENET evolved from smart people in
front of dumb terminals to dumb people in front of smart
terminals.

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#1 Bastian Erdnüß
02/04/2010 - 13:21 | Warnen spam
Markus Wichmann wrote:

Hi all,

normale GLS sind ja in Matrixform gegeben durch

Ax = b



Das sind _lineare_ GLS.

Ich habe jetzt hier ein GLS gegeben durch

Ax \equiv b (mod 2)

Aber wie löse ich das?

Ich hab mal GNU octave beauftragt, das zu lösen, aber es kann ja
dummerweise nur reelle GLS lösen, also bekam ich nur Lösungen zwischen
-1 und 1. Das war nicht hilfreich. Obwohl,... kann ich aus den Lösungen
von

Ax = b

die Lösungen von

Ax \equiv b (mod 2)

errechnen?



Rechne erst mal det(A) aus, und guck ob das ungerade ist. Wenn ja, ist
das GLS eindeutig lösbar. Wenn nicht, reduzier das System, bis du eines
mit ungerader Determinante bekommst.

Nimm dann die Lösung von Ax = b und multipliziere sie mit det(A). Nun
sollten alle Eintragungen ganzzahlig sein. Da, wo undgerade Zahlen
stehen, sollte in der Lösung eine 1 sein, überall wo gerade Zahlen
stehen, sollte eine 0 sein.

Ich hab das jetzt zwar nicht ausprobiert, aber ich glaube, das sollte so
klappen.

Gruß,
Bastian

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