Mögliches Gesprächsthema für Pärchen von der Universität: " Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen " .... (Selbstmord wäre aber besser)

02/10/2016 - 18:51 von Xenon131 | Report spam
Stochastisch unabhàngige Zufallsvariablen
Die stochastische Unabhàngigkeit von Zufallsvariablen ist ein zentrales Konzept der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Statistik, das die stochastische Unabhàngigkeit von Ereignissen und die Unabhàngigkeit von Mengensystemen verallgemeinert. Die stochastische Unabhàngigkeit von Zufallsvariablen wird beispielsweise bei der Formulierung des Zentralen Grenzwertsatzes benötigt.

Inhaltsverzeichnis [Verbergen]
1 Definition für zwei Zufallsvariablen
2 Beispiel
3 Allgemeine Definition
4 Kriterien für Unabhàngigkeit
4.1 Erzeugendensysteme
4.2 Endliche Familien
4.3 Für endliche Familien diskreter Zufallsvariablen
4.4 Für endliche Familien reeller Zufallsvariablen
5 Existenz unabhàngiger Zufallsvariablen
6 Unkorreliertheit und Unabhàngigkeit
7 Bemerkungen
8 Unabhàngigkeit von Zufallsvariablen und Mengensystemen
9 Verallgemeinerungen
10 Literatur
11 Weblinks
12 Einzelnachweise
Definition für zwei Zufallsvariablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)} (\Omega ,{\mathcal A},P) sowie zwei Messràume {\displaystyle (E_{1},\Sigma _{1})} (E_{1},\Sigma _{1}) und {\displaystyle (E_{2},\Sigma _{2})} (E_{2},\Sigma _{2}) und zwei Zufallsvariablen

{\displaystyle X_{1}:(\Omega ,{\mathcal {A}},P)\to (E_{1},\Sigma _{1})} X_{1}:(\Omega ,{\mathcal A},P)\to (E_{1},\Sigma _{1})
und

{\displaystyle X_{2}:(\Omega ,{\mathcal {A}},P)\to (E_{2},\Sigma _{2})} X_{2}:(\Omega ,{\mathcal A},P)\to (E_{2},\Sigma _{2}).
Die beiden Zufallsvariablen heißen stochastisch unabhàngig oder einfacher unabhàngig, wenn für jedes {\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1}} B_{1}\in \Sigma _{1} und jedes {\displaystyle B_{2}\in \Sigma _{2}} B_{2}\in \Sigma _{2} gilt, dass

{\displaystyle P(\{\omega \in \Omega \colon X_{1}(\omega )\in B_{1}\,{\text{und}}\,X_{2}(\omega )\in B_{2}\})=P(\{\omega \in \Omega \colon X_{1}(\omega )\in B_{1}\})\cdot P(\{\omega \in \Omega \colon X_{2}(\omega )\in B_{2}\})} P(\{\omega \in \Omega \colon X_{1}(\omega )\in B_{1}\,{\text{und}}\,X_{2}(\omega )\in B_{2}\})=P(\{\omega \in \Omega \colon X_{1}(\omega )\in B_{1}\})\cdot P(\{\omega \in \Omega \colon X_{2}(\omega )\in B_{2}\}).
Meist werden die Mengen kompakter notiert, indem man anstelle von {\displaystyle \{\omega \in \Omega \colon X_{2}(\omega )\in B_{2}\}} \{\omega \in \Omega \colon X_{2}(\omega )\in B_{2}\} einfach {\displaystyle \{X_{2}\in B_{2}\}} \{X_{2}\in B_{2}\} schreibt. Dann lautet die Definition

{\displaystyle P(\{X_{1}\in B_{1},\,X_{2}\in B_{2}\})=P(\{X_{1}\in B_{1}\})\cdot P(\{X_{2}\in B_{2}\})} P(\{X_{1}\in B_{1},\,X_{2}\in B_{2}\})=P(\{X_{1}\in B_{1}\})\cdot P(\{X_{2}\in B_{2}\})
für alle {\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1},\,B_{2}\in \Sigma _{2}} B_{1}\in \Sigma _{1},\,B_{2}\in \Sigma _{2}.

Eine alternative Definition wird durch die stochastische Unabhàngigkeit von Ereignissen ermöglicht. Man definiert dann

{\displaystyle A_{B_{1}}^{1}=\{\omega \in \Omega \colon X_{1}(\omega )\in B_{1}\}} A_{{B_{1}}}^{1}=\{\omega \in \Omega \colon X_{1}(\omega )\in B_{1}\}
{\displaystyle A_{B_{2}}^{2}=\{\omega \in \Omega \colon X_{2}(\omega )\in B_{2}\}} A_{{B_{2}}}^{2}=\{\omega \in \Omega \colon X_{2}(\omega )\in B_{2}\}.
Die Zufallsvariablen {\displaystyle X_{1},X_{2}} X_{1},X_{2} heißen dann stochastisch unabhàngig, wenn für alle {\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}} B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2} gilt, dass die {\displaystyle A_{B_{1}}^{1}} A_{{B_{1}}}^{1} und {\displaystyle A_{B_{2}}^{2}} A_{{B_{2}}}^{2} stochastisch unabhàngige Ereignisse sind, also

{\displaystyle P(A_{B_{1}}^{1}\cap A_{B_{2}}^{2})=P(A_{B_{1}}^{1})P(A_{B_{2}}^{2})} {\displaystyle P(A_{B_{1}}^{1}\cap A_{B_{2}}^{2})=P(A_{B_{1}}^{1})P(A_{B_{2}}^{2})}
gilt.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)} (\Omega ,{\mathcal A},P) mit Grundmenge {\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4\}} \Omega =\{1,2,3,4\}, σ-Algebra {\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\Omega )} {\mathcal A}={\mathcal P}(\Omega ) und als Wahrscheinlichkeitsmaß die Gleichverteilung auf der Grundmenge. Sei {\displaystyle E_{1}=E_{2}=\{0,1\}} E_{1}=E_{2}=\{0,1\} und {\displaystyle \Sigma _{1}=\Sigma _{2}={\mathcal {P}}(\{0,1\})} \Sigma _{1}=\Sigma _{2}={\mathcal P}(\{0,1\}). Die Zufallsvariablen sind definiert als

{\displaystyle X_{1}(\omega )={\begin{cases}1&{\text{ falls }}\omega \in \{1,2\}\\0&{\text{ falls }}\omega \in \{3,4\}\end{cases}}} X_{1}(\omega )={\begin{cases}1&{\text{ falls }}\omega \in \{1,2\}\\0&{\text{ falls }}\omega \in \{3,4\}\end{cases}}
{\displaystyle X_{2}(\omega )={\begin{cases}1&{\text{ falls }}\omega \in \{2,3\}\\0&{\text{ falls }}\omega \in \{1,4\}\end{cases}}} X_{2}(\omega )={\begin{cases}1&{\text{ falls }}\omega \in \{2,3\}\\0&{\text{ falls }}\omega \in \{1,4\}\end{cases}}.
Jede der σ-Algebren hat 4 Elemente: {\displaystyle \emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\}} \emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\}. Demnach wàren 16 Kombinationen zu überprüfen. Die Fàlle, in denen eine der beteiligten Mengen die Obermenge oder die leere Menge ist, können jedoch ausgeschlossen werden, da jede Menge von diesen beiden unabhàngig ist. Demnach bleiben nur 4 Fàlle übrig: {\displaystyle B_{1}=\{0\}} B_{1}=\{0\} oder {\displaystyle B_{1}=\{1\}} B_{1}=\{1\} kombiniert mit {\displaystyle B_{2}=\{0\}} B_{2}=\{0\} oder {\displaystyle B_{2}=\{1\}} B_{2}=\{1\}

Sei {\displaystyle B_{1}=B_{2}=\{0\}} B_{1}=B_{2}=\{0\}. Dann ist {\displaystyle A_{B_{1}}^{1}=\{3,4\}} A_{{B_{1}}}^{1}=\{3,4\} und {\displaystyle A_{B_{2}}^{2}=\{1,4\}} A_{{B_{2}}}^{2}=\{1,4\} sowie {\displaystyle A_{B_{1}}^{1}\cap A_{B_{2}}^{2}=\{4\}} A_{{B_{1}}}^{1}\cap A_{{B_{2}}}^{2}=\{4\}. Diese Ereignisse sind unabhàngig, denn es ist {\displaystyle P(\{4\})={\tfrac {1}{4}}=P(\{3,4\})P(\{1,4\})} P(\{4\})={\tfrac {1}{4}}=P(\{3,4\})P(\{1,4\}).
Sei {\displaystyle B_{1}=B_{2}=\{1\}} B_{1}=B_{2}=\{1\}. Dann ist {\displaystyle A_{B_{1}}^{1}=\{1,2\}} A_{{B_{1}}}^{1}=\{1,2\} und {\displaystyle A_{B_{2}}^{2}=\{2,3\}} A_{{B_{2}}}^{2}=\{2,3\} sowie {\displaystyle A_{B_{1}}^{1}\cap A_{B_{2}}^{2}=\{2\}} A_{{B_{1}}}^{1}\cap A_{{B_{2}}}^{2}=\{2\}. Diese Ereignisse sind unabhàngig, denn es ist {\displaystyle P(\{2\})={\tfrac {1}{4}}=P(\{1,2\})P(\{2,3\})} P(\{2\})={\tfrac {1}{4}}=P(\{1,2\})P(\{2,3\}).
Sei {\displaystyle B_{1}=\{1\}} B_{1}=\{1\} und {\displaystyle B_{2}=\{0\}} B_{2}=\{0\}. Dann ist {\displaystyle A_{B_{1}}^{1}=\{1,2\}} A_{{B_{1}}}^{1}=\{1,2\} und {\displaystyle A_{B_{2}}^{2}=\{1,4\}} A_{{B_{2}}}^{2}=\{1,4\} sowie {\displaystyle A_{B_{1}}^{1}\cap A_{B_{2}}^{2}=\{1\}} A_{{B_{1}}}^{1}\cap A_{{B_{2}}}^{2}=\{1\}. Diese Ereignisse sind unabhàngig, denn es ist {\displaystyle P(\{1\})={\tfrac {1}{4}}=P(\{1,2\})P(\{1,4\})} P(\{1\})={\tfrac {1}{4}}=P(\{1,2\})P(\{1,4\}).
Sei {\displaystyle B_{1}=\{0\}} B_{1}=\{0\} und {\displaystyle B_{2}=\{1\}} B_{2}=\{1\}. Dann ist {\displaystyle A_{B_{1}}^{1}=\{3,4\}} A_{{B_{1}}}^{1}=\{3,4\} und {\displaystyle A_{B_{2}}^{2}=\{2,3\}} A_{{B_{2}}}^{2}=\{2,3\} sowie {\displaystyle A_{B_{1}}^{1}\cap A_{B_{2}}^{2}=\{3\}} A_{{B_{1}}}^{1}\cap A_{{B_{2}}}^{2}=\{3\}. Diese Ereignisse sind unabhàngig, denn es ist {\displaystyle P(\{3\})={\tfrac {1}{4}}=P(\{3,4\})P(\{2,3\})} P(\{3\})={\tfrac {1}{4}}=P(\{3,4\})P(\{2,3\}).
Somit sind alle Ereignisse unabhàngig und demnach auch die Zufallsvariablen.

Allgemeine Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Familie von Zufallsvariablen {\displaystyle X_{i}\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},P)ightarrow (E_{i},\Sigma _{i})} X_{i}\colon (\Omega ,{\mathcal A},P)ightarrow (E_{i},\Sigma _{i}), {\displaystyle i\in I} i\in I für eine beliebige Indexmenge {\displaystyle I} I heißt stochastisch unabhàngig, falls für jede endliche Teilmenge {\displaystyle J} J von {\displaystyle I} I gilt, dass

{\displaystyle P\left(\bigcap _{j\in J}\{X_{j}\in B_{j}\}ight)=\prod _{j\in J}P(X_{j}\in B_{j})} P\left(\bigcap _{{j\in J}}\{X_{j}\in B_{j}\}ight)=\prod _{{j\in J}}P(X_{j}\in B_{j})
für alle {\displaystyle B_{j}\in \Sigma _{j}} B_{j}\in \Sigma _{j} gilt.

Mit der Unabhàngigkeit für Mengensysteme wird die stochastische Unabhàngigkeit von Zufallsvariablen auch wie folgt definiert: Eine Familie von Zufallsvariablen sind genau dann stochastisch unabhàngig, wenn ihre Initial-σ-Algebren voneinander unabhàngig sind.

Diese Definition kann àquivalent auf Zufallsvektoren, also auf {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} \mathbb {R} ^{n}-wertige Zufallsvariablen, angewandt werden.[1] An die Unabhàngigkeit der Komponentenabbildungen sind dabei keine weiteren Forderungen gestellt
 

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#1 Jens Kallup
02/10/2016 - 23:15 | Warnen spam
ah, ok, wo ist das I-Tüpfelchen?

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