Muekendidaktik: Potenzreihen

10/08/2016 - 06:25 von Jürgen R. | Report spam
Im berühmten Bestseller führt Mückenheim ganz nebenbei Potenzreihen ein,
vergisst aber zu erwàhnen, dass diese gewisse schöne Eigenschaften
haben, trotzdem er im selben Abschnitt auch von gleichmàßiger Konvergenz
erzàhlt...

Dafür bringt er folgenden Satz:

<https://www.dropbox.com/s/w1r2m3xct...g?dl=0>

Leider ist der Beweis falsch.
Wo ist der Fehler?

NB Hier findet man die hochmoderne Schreibweise Summe_{n in N}, was
bekanntlich nicht dasselbe ist wie Summe_{n=1}^inf
 

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#1 Detlef Müller
10/08/2016 - 12:13 | Warnen spam
Am 10.08.2016 um 06:25 schrieb Jürgen R.:
Im berühmten Bestseller führt Mückenheim ganz nebenbei Potenzreihen ein,
vergisst aber zu erwàhnen, dass diese gewisse schöne Eigenschaften
haben, trotzdem er im selben Abschnitt auch von gleichmàßiger Konvergenz
erzàhlt...

Dafür bringt er folgenden Satz:

<https://www.dropbox.com/s/w1r2m3xct...g?dl=0>



["dropbox" ist zwar praktisch, aber leider für wissenschaftliches
Arbeiten zu kurzlebig. Hm "wissenschaftlich"? Ich will nichts
gesagt haben :) ]

Leider ist der Beweis falsch.
Wo ist der Fehler?




Selbstverstàndlich ist dieser Beweis Tadellos, weil er
ja im BUCH steht.

Andererseits haben die Mathematiker bisher noch nichts von
der Umkehrbarkeit des Quotientenkriteriums gewusst.

In "Analysis 1" von Konrad Königsberger wird gar das Beispiel
für gerade n: a_n := 2^{-n},
für ungerade n: a_n := 3^{-n}

aufgeführt, die Reihe \sum_N(a_n x^n) konvergiert dann
für |x|<2, da durch \sum_N(2^{-n} x^n) majorisiert.

Für ungerade n ist aber |(a_{n+1}/a_n)x|=(3/2)^n |x|,
was für jedes x<>0 gegen unendlich geht.

Ok.
Dann folgt also aus der Voraussetzung "Konvergenz" nicht
dass der Rechte Ausdruck auch nur beschrànkt wàre (geschweige
denn gegen ein q<1 konvergierte).

Aber das Buch richtet sich ja an Anfànger bzw. Nichtmathematiker,
die einen kurzen aber falschen Beweis sicher besser überblicken
können.

Das Grübeln über die Frage "Warum gilt das denn nach Voraussetzung"
ist dann so eine Art Zen-Meditation und führt sie evtl. auf den
Pfad der Erleuchtung.

Gruß,
Detlef

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