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Münzen-Probleme

18/02/2010 - 12:18 von Jens Voß | Report spam
Hallo allerseits,

ein beliebtes Problem lautet:

Gegeben seien natürliche Zahlen m und n derart, dass m Münzen
gleicher Größe auf einer ebenen Flàche (ohne Übereinander-
stapeln, Hochkantstellen und dergleichen) so arrangiert
werden können, dass jede Münze genau n andere Münzen berührt.
Wie groß ist m (in Abhàngigkeit von n) mindestens?

Es ergibt sich:

a) Für n = 1 ist trivialerweise m = 2
b) Für n = 2 ist m genauso trivial zu finden
c) Für n = 3 ist m schon deutlich größer
d) Für n >= 4 gibt es keine Lösungen

Man sieht also, dass das Problem insgesamt eher wenig reizvoll
ist. Ein bisschen interessanter wird es hingegen, wenn man in
der Aufgbenstellung oben die Bedingung "gleicher Größe" weg-
und Münzen unterschiedlicher Größe zulàsst. Dann gilt:

e) Für n = 1 und n = 2 sind die Werte von m dieselben wie oben
in (a) und (b)
f) Für n = 3 ist m deutlich kleiner als oben in (c)
g) Für n = 4 existiert (anders als bei (d)) ebenfalls eine
Lösung

Das Ermitteln der Werte für m in (b), (c), (e), (f), (g) sowie
die Beweise für Minimalitàt bzw. Nichtexistenz sind nicht
allzu schwierig und seien deshalb Übungsaufgaben.

Was mich jedoch beschàftigt: Gibt es mit unterschiedlich
großen Münzen Lösungen für n = 5 oder sogar größere n? Ich
habe trotz làngerer Suche keine gefunden, aber auch keinen
Beweis für die Nichtexistenz. Kann jemand weiterhelfen?

Herzliche Grüße,
Jens
 

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19/02/2010 - 22:10 | Warnen spam
Jens Voß wrote:

ein beliebtes Problem lautet:

 Gegeben seien natürliche Zahlen m und n derart, dass m Münzen
 gleicher Größe auf einer ebenen Flàche (ohne Übereinander-
 stapeln, Hochkantstellen und dergleichen) so arrangiert
 werden können, dass jede Münze genau n andere Münzen berührt.
 Wie groß ist m (in Abhàngigkeit von n) mindestens?



..
Man sieht also, dass das Problem insgesamt eher wenig reizvoll
ist. Ein bisschen interessanter wird es hingegen, wenn man in
der Aufgbenstellung oben die Bedingung "gleicher Größe" weg-
und Münzen unterschiedlicher Größe zulàsst. Dann gilt:


Was mich jedoch beschàftigt: Gibt es mit unterschiedlich
großen Münzen Lösungen für n = 5 oder sogar größere n? Ich
habe trotz làngerer Suche keine gefunden, aber auch keinen
Beweis für die Nichtexistenz. Kann jemand weiterhelfen?




Ersetzt man jede Münze durch einen Punkt, seinen Mittelpunkt, und
die Berührstelle zweier Münzen durch eine gerade Verbindung zweier
Punkte, dann kann man jede Münze als ein Atom ansehen, welches n
freie Arme hat. Jetzt konstruiert man daraus ein Molekül durch
Verbinden je zweier Arme, natürlich hier 2d.
Da könnte es ja sein, daß man nun Ketten von Atomen ( Münzen)
bildet, aber es können auch geschlossene Polygone werden und dann muß
man mal weiter sehen, was man an die noch freien Arme hàngt.
Vielversprechend scheint mir von einem geschlossenen Polygon
auszugehen,
in dem also jeder Punkt genau zwei andere Punkte verbindet.
Dann hat man von jedem Punkt noch n - 2 freie Arme, die möglich nach
innen oder möglich nach außen zeigen.
Bilden wir beispielsweise im Falle n=5 ein Polygon von 6 Punkten, dann
kann ich innen einen Punkt einfügen und mit 5 Punkten verbinden. Somit
haben jetzt 5 Punkte des Polygons n-3 freie Arme einer n-2 und der
Punkt
im Inneren keinen freien Arm.
Verfolgt man diesen Gang weiter, dürfte man doch auf einige mögliche
Figuren stoßen und auch erkennen, wann keine Lösungen zu erhalten
sind.

Ich hab jetzt mal gesucht
und da gibt es einen Thread mit Thema "Münzenproblem" von 2000 und
siehe da eine àhnliche Überlegung von Wolfgang Thumser in
"Muenzenproblem von Jens".

Mit freundlichen Grüßen
Hero

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