natürliche "Ungleichverteilungen"

26/04/2013 - 16:56 von H.-P. Schulz | Report spam
... oder wie ich's sonst nennen mag.

Es sind so Zahlenspielereien, arithmetische Spielchen, alle
wahrscheinlich schon seit tausenden von Jahren immer wieder
unternommen, - und doch für jeden, der sie treibt, dann neu.

Nehmen wir die Zahl 5.

Alle wissen, dass alle Multiplikationen (wir sind immer in |N) mit 5
stets auch wieder eine 5 als Einerstelle haben. Genau so verhàlt es
sich mit der 0 als Einerstelle.

Ferner:

Alle Quadrate von Zahlen mit Einerstelle 5 haben 5 als Einerstelle.
Alle Quadrate von Zahlen mit Einerstelle 0 haben 0 als Einerstelle.

Alle Quadrate von Zahlen mit Einerstelle 1 haben 1 als Einerstelle.
Alle Quadrate von Zahlen mit Einerstelle 6 haben 6 als Einerstelle.

2, 3, 7, 8 kommen nie als Einerstelle einer Quadratzahl vor.

Quadrat von Zahlen mit Einerstelle 2 o. 8 haben Einerstelle 4.
Quadrat von Zahlen mit Einerstelle 3 o. 7 haben Einerstelle 9.
Quadrat von Zahlen mit Einerstelle 1 o. 9 haben Einerstelle 1.
Quadrat von Zahlen mit Einerstelle 4 o. 6 haben Einerstelle 6.
Betr. 5 und 0 s.o..

Alle höheren Potenzen mit geradem Exponenten können als Einerstelle
nur 0, 1, 5, 6 haben.

Liegt das alles am Dezimalsystem - oder gibt es solche Symmetrien auch
in jedem anderen Zahlensystem?

Und: Warum gibt es diese "Ungleichverteilungen"? Ist da was beweisbar,
etwa, warum keine Quadratzahl auf 7 endet?
Natürlich ist das alles *intuitiv*, die einfachste Arithmetik zeigt
die Verhàltnisse, wie sie sind.

Ich bin sicher, dass auf diesen "Erkenntnissen" (und vielen àhnlichen,
oft mit modulo, Quersummen u.a.m.) viele Rechenkunsstücke,
Zahlenzaubereien usw. basieren, wahrscheinlich schon seit den alten
Babyloniern.
 

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#1 Detlef Müller
26/04/2013 - 18:12 | Warnen spam
On 26.04.2013 16:56, H.-P. Schulz wrote:
... oder wie ich's sonst nennen mag.

Es sind so Zahlenspielereien, arithmetische Spielchen, alle
wahrscheinlich schon seit tausenden von Jahren immer wieder
unternommen, - und doch für jeden, der sie treibt, dann neu.

Nehmen wir die Zahl 5.

Alle wissen, dass alle Multiplikationen (wir sind immer in |N) mit 5
stets auch wieder eine 5 als Einerstelle haben. Genau so verhàlt es
sich mit der 0 als Einerstelle.

Ferner:

Alle Quadrate von Zahlen mit Einerstelle 5 haben 5 als Einerstelle.
Alle Quadrate von Zahlen mit Einerstelle 0 haben 0 als Einerstelle.

Alle Quadrate von Zahlen mit Einerstelle 1 haben 1 als Einerstelle.
Alle Quadrate von Zahlen mit Einerstelle 6 haben 6 als Einerstelle.

2, 3, 7, 8 kommen nie als Einerstelle einer Quadratzahl vor.

Quadrat von Zahlen mit Einerstelle 2 o. 8 haben Einerstelle 4.
Quadrat von Zahlen mit Einerstelle 3 o. 7 haben Einerstelle 9.
Quadrat von Zahlen mit Einerstelle 1 o. 9 haben Einerstelle 1.
Quadrat von Zahlen mit Einerstelle 4 o. 6 haben Einerstelle 6.
Betr. 5 und 0 s.o..

Alle höheren Potenzen mit geradem Exponenten können als Einerstelle
nur 0, 1, 5, 6 haben.

Liegt das alles am Dezimalsystem - oder gibt es solche Symmetrien auch
in jedem anderen Zahlensystem?



Das Mittel um derlei zu untersuchen ist die Modulo-Rechnung.

Die letzte Stelle einer Zahl betrachten heißt den
Zehner-Rest zu nehmen.

Nimmt man etwa den 12-Rest, so findet man Gesetze für das 12-System.

Und: Warum gibt es diese "Ungleichverteilungen"? Ist da was beweisbar,
etwa, warum keine Quadratzahl auf 7 endet?



Ja. Stichwort z.B. "Quadratische Reste".

Hier, modulo 10 ist der Beweis ganz simpel:
in der Auflistung aller Quadratzahlen modulo 10:
0^2=0, 1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=6,
5^2=5, 6^6=6, 7^2=9, 8^2=4, 9^2=1
taucht keine 7 auf qed.

Modulo 12 sind die Quadrate von 0,1,2,3,4,5,6 :
0, 1, 4, 9(=-3), 16=4, 25=1, 36=0
Wir erhalten (da 7=-5, 8=-4, 9=-3, 10=-2, 11=-1) folgende
Tabelle für die Quadrate und höhere Potenzen:

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
x^2 0 1 4 9 4 1 0 1 4 9 4 1
x^3 0 1 8 3 4 5 0 7 8 9 4 11
x^4 0 1 4 9 4 1 0 1 4 9 4 1
...

Natürlich ist das alles *intuitiv*, die einfachste Arithmetik zeigt
die Verhàltnisse, wie sie sind.



Ja: modulo-Rechnung.
Aber die Gefilde in die die zunàchst einfachen Betrachtungen
führen gehen dann schnell auch in die Gruppentheorie und Algebra -
es kann dabei durchaus auch anspruchsvoll werden.

Es gab wohl Mathematiker die voller Stolz meinten, die höhere
Zahlentheorie sei eine Disziplin frei von jeglicher realweltlichen
Anwendung ... doch dann kam die Kryptografie

Gruß,
Detlef

Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

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