Neutronendiffusion

24/07/2012 - 21:27 von Ralf . K u s m i e r z | Report spam
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Moin!

Mir fehlt gerade die "zündende Idee":

Eine sich in einem homogenen Gas befindliche punktförmige
Neutronenquelle emittiert thermische Neutronen mit maxwellverteilten
Geschwindigkeiten, d. h. die Neutronen führen nach dem Austritt aus
der Quelle einen Random walk aufgrund elastischer Stöße mit den
Gasteilchen aus. Gesucht ist die Neutronendichte in Abhàngigkeit vom
Abstand von Zentrum.

Eigenschaften der Neutronen:
Aufgrund des Random walks hat sich ein Neutron nach einer Zeit t im
Mittel um eine Strecke c*SQRT(t) von seiner vorherigen Position
entfernt. Allerdings haben die Neutronen nur eine begrenzte
Lebendauer: Sie verschwinden zufàllig mit einer Zerfallskonstante
lambda gemàß einer Überlebenswahrscheinlichkeit

p(t) = exp(-lambda*t)

aufgrund Anlagerung an Gasteilchen (was in der Praxis wesentlich
schneller als der radioaktive Zerfall der Neutronen geht).

Man könnte jetzt folgende Überlegung anstellen:

Nach dem Austritt aus der Quelle befindet sich das Neutron nach einer
Zeit t in einem mittleren Abstand

r(t) = c*SQRT(t)

vom Zentrum, falls es dann noch existiert. Die Neutronendichte im
Abstand r ist deswegen

rho(r) = rho0 * exp(-lambda*(r/c)^2)/r^2

Nur berücksichtigt das nicht, daß von jedem Punkt des Raums aus die
dort befindlichen Neutronen mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit zu
jedem anderen Punkt diffundieren können. Eine stationàre Lösung muß
also die Rückdiffusion aus allen Richtungen berücksichtigen.

(Die Fickschen Gesetze tun es natürlich nicht, weil darin die
diffundierenden Teilchen ewig leben und nicht aussterben.)

Das muß doch für solche einfachen symmetrischen Konfigurationen auch
ohne Monte-Carlo-Rechnungen gehen - wobei bei denen natürlich wieder
dasselbe herauskommen müßte.

Eigentlich müßte folgendes funktionieren: Nach einer Zeit t hat ein
emittiertes Neutron eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit p(r, t) im
Abstand r. Wenn man das über t integriert, müßte nach passender
Normierung die Teilchendichte herauskommen. Und was ist p(r,t)?

Für einen Wiener-Prozeß kriegt man

p(r, t) = exp(-r^2/(2*t/t0)-lambda*t)/SQRT(2*Pi*t/t0)

(Naja, das ist nicht normiert.)

Das über t integriert und durch r^2 dividiert sollte eigentlich im
wesentlichen die Lösung sein. (Oder nicht?) Hm, widerspenstiges
Integral...

Die nàchste Komplizierung wàre dann, daß sich die Neutronenquelle an
der Grenze zweier Halbràume befindet, in denen die Neutronen
unterschiedliche freie Weglàngen zwischen Stößen und unterschiedliche
Zerfallskonstanten haben.


Gruß aus Bremen
Ralf
R60: Substantive werden groß geschrieben. Grammatische Schreibweisen:
adressiert Appell asynchron Atmosphàre Autor bißchen Ellipse Emission
gesamt hàltst Immission interessiert korreliert korrigiert Laie
nàmlich offiziell parallel reell Satellit Standard Stegreif voraus
 

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#1 Bernd Funke
25/07/2012 - 01:20 | Warnen spam
Ralf . K u s m i e r z wrote:
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Moin!

Mir fehlt gerade die "zündende Idee":



Mir scheint, Du suchst die Lösung von

dho(\vec r,t)/dt=Q\delta(\vec r)+D\Deltaho(\vec r,t)-Zho(\vec r,t)

Q=Quellstàrke, D=Diffusionskonstante, Z=Zerfallsrate

Zweckmàßigerweise wàhlt man jetzt 1/Z als Zeiteinheit, sqrt(D/Z) als
Làngeneinheit und Q*sqrt(Z)/D^(3/2) als Einheit für ho, so dass man nur
noch

dho(\vec r,t)/dt=\delta(\vec r)+\Deltaho(\vec r,t)-ho(\vec r,t)

lösen muss.

Reicht Dir die stationàre Lösung? Das ist dann ho(r)=exp(-r)/(4\pi r).

Bernd

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