Nicht entartete Dreiecke, IMO 2009, Aufgabe 5

17/07/2009 - 13:39 von Rainer Rosenthal | Report spam
Jan Fricke schrieb mir:
Ich habe jetzt keinen News-Zugang konfiguriert, sonst hàtte ich die
Aufgabe schon eingestellt.

Ich fasse das als Anstoss auf, es jetzt zu tun :-)

Aufgabe 5 der IMO:

Man bestimme alle Funktionen f:Z_+ --> Z_+, so dass für alle a, b die Werte
a, f(b) und f(b+f(a)-1)
Seitenlàngen eines nicht-entarteten Dreiecks sind.

(Auf den ersten Blick scheint mir[RR] dies keine nicht-entartete Aufgabe).

Gruss,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de
 

Lesen sie die antworten

#1 Ernst Jaeger
17/07/2009 - 21:43 | Warnen spam
Rainer Rosenthal writes:
Aufgabe 5 der IMO:

Man bestimme alle Funktionen f:Z_+ --> Z_+, so dass für alle a, b die Werte
a, f(b) und f(b+f(a)-1)
Seitenlàngen eines nicht-entarteten Dreiecks sind.

(Auf den ersten Blick scheint mir[RR] dies keine nicht-entartete Aufgabe).



Schöne Aufgabe!

Man stellt leicht fest, dass es die Identitàt tut. Bleibt nur noch zu
zeigen, dass das schon alle möglichen Funktionen sind.

Wenn eine Seite des Dreiecks 1 ist, dann müssen die anderen beiden
Seiten gleich sein oder es wird kein Dreieck oder es ist entartet.
Für die Paare (1,x) erhalten wir also f(x)=f(x+f(1)-1). Ist nun f(1)
ungleich 1, dann ist die Funktion periodisch und kann nur noch endlich
viele Werte annehmen, deren größter mal M sei. Für das Paar (2M+1,x)
erhalten wir dann aber die Seiten 2M+1, f(x)<=M, f(y)<=M und damit kein
Dreieck. Also ist f(1)=1.

Für das Paar (x,1) erhalten wir dann die Seiten x, f(1)=1 und
f(1+f(x)-1)=f(f(x)) also wie oben die Beziehung f(f(x))=x für alle
x. Mit anderen Worten, der Graph von f ist symmetrisch zur
Hauptdiagonalen. Wenn f nicht die Identitàt ist, dann gibt es ein Paar
p<q mit f(p)=q und f(q)=p.

Für die Paare (p,x) ergeben sich die Seitenlàngen p, f(x) und f(x+q-1)
also gilt insbesondere die Beziehung f(x+q-1)<=f(x)+p-1 für alle
x. Ist M das Maximum der ersten q Funktionswerte, dann gilt für alle x
eine Abschàtzung der Form f(x)<=M+x*(p-1)/(q-1). Wegen p<q gilt also
für hinreichend große x immer f(x)<x, was sofort ein Widerspruch ist
zu f(f(x))=x.

Viele Grüße, Ernst

Ähnliche fragen