Nichtlineare Differenzengeichung

13/11/2008 - 22:39 von Siegfried Neubert | Report spam
Hallo Ihr, moin moin!

Suche nach Idee zur Lösung einer nichtlinearen Differenzengleichung:

a(n+1)= a(n) + 1/2 * a(n)^2

Z.B. für a(1)=3 und a(2)=4 und a(n+1)= a(n) + 1/2 * a(n)^2 für
n=2,3,...

also 3, 4, 12, 84, ...

gilt dann:

sum[k=1,...,l]a(k)^2 für l=1, ... ist Quadrat einer natürlichen Zahl

3^2= 9, 9+4^2%=5^2, 25+12^29^2, 169+84^2=...…^2, ...


Die Aufgabenstellung stammt von

"wolf2" <wolfgang.heinze@bluewin.ch> schrieb im Newsbeitrag
news:2e2a4c46-0a89-42d8-8bce-300da11c9bbb@c36g2000prc.googlegroups.com...
Finde eine Folge natürlicher Zahlen a{n}, so dass für alle n die
Summe über k=1...n von a{k}^2 wieder eine Quadratzahl ist?

Kann man ein nicht-rekursives Bildungsgesetz angeben? (Habe ich nicht
gefunden) ...

Gruß, tschüß - Siggi N., Hamburg
 

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#1 earthnut
04/12/2008 - 05:20 | Warnen spam
Siegfried Neubert wrote:

Hallo Ihr, moin moin!

Suche nach Idee zur Lösung einer nichtlinearen Differenzengleichung:

a(n+1)= a(n) + 1/2 * a(n)^2



Ich hab ne Weile drüber nachgedacht und bin zu keinem Ergebnis gekommen.
Da aber sonst keiner Antwortet, schreib ich mal, was ich hab.

Setzt man b(n) = a(n) / 2 kommt man zu

2 * b(n+1) = 2 * b(n) + 1/2 * 4 * b(n)^2
b(n+1) = b(n) + b(n)^2
b(n+1) - b(n) = b(n)^2
(Delta b)(n) = b(n)^2

Und bekommt die Gleichung so in eine "Normalform".

Man kann nun entweder den Operator Delta studieren und kommt damit evtl.
irgendwie weiter. Oder man löst obige Gleichung einfach mal für die
ersten b(n) mit dem Anfangswert b(0) = x und guckt, was passiert:

b(0) = x
b(1) = x + x^2
b(2) = x + 2*x^2 + 2*x^3 + x^4
b(3) = x + 3*x^2 + 6*x^3 + 9*x^4 + 10*x^5 + 8*x^6 + 4*x^7 + x^8

So, genug. Die Koeffizienten [1 3 6 9 10 8 4 1] von dem Polynom b(3)
kann man dann mal bei OEIS eingeben und bekommt mit der Folge A122888
tatsàchlich eine Referenz, leider aber ohne geschlossener Formel.

Bastian

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