Noch etwas Erstaunliches

19/03/2009 - 19:16 von Alfred Flaßhaar | Report spam
Hallo,

anscheinend können auch die kleinen wenig beachteten Tatsachen
überraschen. Mir ging es so, als ich Gelegenheit hatte, in Büchern zu
stöbern. Dabei fiel folgende Geometrieaufgabe auf:

Das ebene Dreieck ABC sei nicht gleichschenklig. Zwei seiner Höhen
seien h und k. Man beweise für die dritte Höhe l die Abschàtzung
h*k/(h+k)<l<h*k/(h-k).

Erstaunlich ist, daß nur die Höhen beteiligt sind und die Schàrfe nicht
über die der ... hinausgeht.

Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar
 

Lesen sie die antworten

#1 Wolfgang Kirschenhofer
19/03/2009 - 21:41 | Warnen spam
Alfred Flaßhaar schrieb:
Hallo,

anscheinend können auch die kleinen wenig beachteten Tatsachen
überraschen. Mir ging es so, als ich Gelegenheit hatte, in Büchern zu
stöbern. Dabei fiel folgende Geometrieaufgabe auf:

Das ebene Dreieck ABC sei nicht gleichschenklig. Zwei seiner Höhen seien
h und k. Man beweise für die dritte Höhe l die Abschàtzung
h*k/(h+k)<l<h*k/(h-k).

Erstaunlich ist, daß nur die Höhen beteiligt sind und die Schàrfe nicht
über die der ... hinausgeht.

Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar



Hallo Alfred
und weitere Interessierte an der Elementargeometrie !

Sei r der Inkreisradius des Dreiecks ABC und u sein Umfang.
Da der Inkreis ganz im Dreieck liegt und jeder Berührradius
so wie die entsprechende Höhe zur Seite normal steht, gilt:
h>2*r , k>2*r und l>2*r (1)

Weiters gilt r = F/s = 2*F/u und 2*F=a*h=b*k=c*l.
Es gilt daher 1/(2*F)=1/(r*u) und
1/h=a/(2*F)=a/(r*u), 1/k=b/(2*F)=b/(r*u) und 1/l=c/(2*F)=c/(r*u)
Daraus folgt:
1/h+1/k+1/l =(a+b+c)/(r*u)= u/(r*u) und daher gilt
1/h+1/k+1/l = 1/r (2)
Sei nun h>k, d.h. h-k>0 und 1/k>1/h .
Aus (2)und (1)folgt dann 1/h+1/k=1/r-1/l>2/l-1/l=1/l
und daraus folgt h*k/(h+k)<l
Aus (2) und (1) folgt ebenso 1/l+1/h=1/r-1/k>2/k-1/k=1/k
und daraus folgt 1/l>1/k-1/h und daraus weiter
l<k*h/(h-k) .
Damit ist obige Doppelungleichung bewiesen.

Freundliche Grüße,
Wolfgang

Ähnliche fragen