Nochmal Dodekaeder

04/05/2014 - 17:24 von Manfred Ullrich | Report spam
In einem Vor-Thread fragte ich:
"Wieviele unterscheidbare Dodekaeder (12-Flàchner, 12 Fünfecke) kann man
herstellen, wenn die Zahlen 1 bis 12 so auf den 12 Flàchen verteilt
sind, dass die Zahlen von jeweils gegenüberliegenden Seiten sich immer
zu 13 ergànzen sollen?"
Und mit etlichen anderen war ich dann einig, es sind 768.
Und nun stelle ich überrascht fest, es stimmt nicht, es sind nur 744.

Gruß
Manfred (;-))
 

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#1 Ralf . K u s m i e r z
04/05/2014 - 19:51 | Warnen spam
X-No-Archive: Yes

begin quoting, Manfred Ullrich schrieb:

In einem Vor-Thread fragte ich:
"Wieviele unterscheidbare Dodekaeder (12-Flàchner, 12 Fünfecke) kann man
herstellen, wenn die Zahlen 1 bis 12 so auf den 12 Flàchen verteilt
sind, dass die Zahlen von jeweils gegenüberliegenden Seiten sich immer
zu 13 ergànzen sollen?"
Und mit etlichen anderen war ich dann einig, es sind 768.
Und nun stelle ich überrascht fest, es stimmt nicht, es sind nur 744.


Sorry, ich nehm's zurück, war ein Gedankenfehler.



Ich hatte bis hierher nur mitgelesen, aber nicht mitgedacht. Dann kam
ich durch wahrscheinlich von anderen genauso angestellte Überlegungen
auch auf 768.

Führen wir die doch einfach mal auf: Wir numerieren die Flàchen von 1
bis 12, wobei sich 1 und 12 gegenüberliegen und oBdA mit 1 und 12
besetzt sind - es sind also nur noch die Zahlen 2-11 auf die Flàchen
2-11 zu verteilen. Diese werden wie folgt numeriert: Wenn man auf
Flàche 1 zentral draufschaut, dann soll sie im mathematisch positiven
Sinn mit aufsteigender Reihenfolge von den Flàchen 2-6 umgeben sein.
die anderen Flàchen 7-11 seien dadurch definiert, daß sie den Flàchen
2-6 wie folgt gegenüberliegen:

2 - 9
3 - 10
4 - 11
5 - 7
6 - 8

(was ich mir gerade so auf einen Zettel skizziert und mithin quasi
willkürlich ausgedacht hatte).

Dann sollten folgende Belegungen möglich sein:

Flàchennummern

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1. 1 2 3 4 5 6 8 7 11 10 9 12
2. 1 2 3 4 5 7 8 6 11 10 9 12

...

768. 1 11 10 9 8 7 5 6 2 3 4 12


So, und wie sehe ich jetzt, daß keine dieser Anordnungen durch Drehung
in eine andere übergehen kann?

Das, was ich wirklich sehe (weil ich es so konstruiert habe), ist
nàmlich, daß ich um die 1 herum sàmtliche Kombinationen aus 5
Elementen aus der Menge {2, ... , 11} angeordnet habe, bei der
sàmtliche Kombinationen paarweise nicht die Summe 13 haben, und die
nicht durch zyklische Vertauschung auseinander hervorgehen.

Das ist aber nicht dasselbe. - Oder doch?

Na klar:
Angenommen, zwei dieser Kombinationen wàren kongruent. Dann könnte man
sie zunàchst beide so drehen, daß die 1 oben ist. Daraufhin müßten die
beiden 1 dann von fünf gleichen Zahlen in der gleichen Anordnung
umgeben sein. Das wurde aber per Konstruktion ausgeschlossen.

Schnellschuß: Für den Ikosaeder kommt 61 931 520 heraus.


Gruß aus Bremen
Ralf
R60: Substantive werden groß geschrieben. Grammatische Schreibweisen:
adressiert Appell asynchron Atmosphàre Autor bißchen Ellipse Emission
gesamt hàltst Immission interessiert korreliert korrigiert Laie
nàmlich offiziell parallel reell Satellit Standard Stegreif voraus

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