Nochmal Interpolation

29/10/2011 - 22:59 von Ralf . K u s m i e r z | Report spam
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Moin!

Ich verstehe gerade ein Ergebnis nicht. Gesucht ist der Wert eines
skalaren Feldes an einem Aufpunkt in der Ebene (bequemerweise wàhle
ich das Koordinatensystem so, daß der Aufpunkt im Zentrum liegt), der
durch die Interpolation der Meßwerte von sechs umliegenden
Meßstationen (mit den Koordinaten [x_i, y_i] ermittelt werden soll.

Dazu müßte man eigentlich Informationen über die Eigenschaft des
skalaren Feldes haben...

Haben wir aber nicht, deshalb nehme ich einfach mal an, daß es sich
lokal durch eine quadratische Form beschreiben làßt, also die
Funktionswerte z(x, y) durch eine Glg.

z_i(x_i, y_i) = a*x_i^2 + b*x_i*y_i + c*y_i^2 + d*x_i + e*y_i + f

gegeben sind. Wenn man Meßstationen M_i, i = 1..6 hat, dann gibt das
ein lineares Gleichungssystem für den Koeffizientenvektor A = [a, b,
c, d, e, f], zu dessen Lösung man die Koordinatenmatrix K = [[x_1^2
1], ... , [x_6^2 1]] invertieren kann - muß man nur einmal
machen, die Koordinaten der Meßstationen àndern sich nicht - und dann
den Wertevektor Z mit der inversen Matrix K^-1 multiplizieren, dann
kommt der Koeffizientenvektor A heraus.

Wegen der geschickten Wahl der Aufpunktkoordinaten brauche ich von
K^-1 aber nur die letzte Zeile, die durch Multiplikation mit Z den
Koeffizienten f liefert, und das ist dann auch schon der gesuchte
interpolierte Funktionswert.

Und was heißt das jetzt? Das bedeutet doch, daß der einfach eine
Linearkombination aus den sechs z_i ist, unabhàngig von dem speziellen
Feld, immer mir den gleichen Wichtungskoeffizienten, die nur von den
Koordinaten der Stützstellen abhàngen und von sonst nichts und also
nur einmal berechnet zu werden brauchen und dann als Fixwerte
hinterlegt werden können.

(Beispiel:

Die Koordinaten seien

M_1 = [ 7, 12]
M_2 = [ -8, 10]
M_3 = [-13, -2]
M_4 = [ -6, -12]
M_5 = [ 7, -13]
M_6 = [ 14, -1]

Dann ergibt sich ein Gewichtevektor

G = [-3,34426, 4,36825, -5,24441, 5,72483, -4,51277, 4,00835] )

Das ist mir bei so einem "krummen" Feldverlauf wie mit einer
quadratischen Form irgendwie einen Tick zu einfach - habe ich dabei
irgendwo einen Bock geschossen?


Gruß aus Bremen
Ralf
R60: Substantive werden groß geschrieben. Grammatische Schreibweisen:
adressiert Appell asynchron Atmosphàre Autor bißchen Ellipse Emission
gesamt hàltst Immission interessiert korreliert korrigiert Laie
nàmlich offiziell parallel reell Satellit Standard Stegreif voraus
 

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#1 Ralf . K u s m i e r z
30/10/2011 - 12:00 | Warnen spam
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begin quoting, "Ralf . K u s m i e r z" schrieb:

Ich verstehe gerade ein Ergebnis nicht. Gesucht ist der Wert eines
skalaren Feldes an einem Aufpunkt in der Ebene (bequemerweise wàhle
ich das Koordinatensystem so, daß der Aufpunkt im Zentrum liegt), der
durch die Interpolation der Meßwerte von sechs umliegenden
Meßstationen (mit den Koordinaten [x_i, y_i] ermittelt werden soll.

Dazu müßte man eigentlich Informationen über die Eigenschaft des
skalaren Feldes haben...

Haben wir aber nicht, deshalb nehme ich einfach mal an, daß es sich
lokal durch eine quadratische Form beschreiben làßt, also die
Funktionswerte z(x, y) durch eine Glg.

z_i(x_i, y_i) = a*x_i^2 + b*x_i*y_i + c*y_i^2 + d*x_i + e*y_i + f

gegeben sind. Wenn man Meßstationen M_i, i = 1..6 hat, dann gibt das
ein lineares Gleichungssystem für den Koeffizientenvektor A = [a, b,
c, d, e, f], zu dessen Lösung man die Koordinatenmatrix K = [[x_1^2
1], ... , [x_6^2 1]] invertieren kann - muß man nur einmal
machen, die Koordinaten der Meßstationen àndern sich nicht - und dann
den Wertevektor Z mit der inversen Matrix K^-1 multiplizieren, dann
kommt der Koeffizientenvektor A heraus.

Wegen der geschickten Wahl der Aufpunktkoordinaten brauche ich von
K^-1 aber nur die letzte Zeile, die durch Multiplikation mit Z den
Koeffizienten f liefert, und das ist dann auch schon der gesuchte
interpolierte Funktionswert.

Und was heißt das jetzt? Das bedeutet doch, daß der einfach eine
Linearkombination aus den sechs z_i ist, unabhàngig von dem speziellen
Feld, immer mir den gleichen Wichtungskoeffizienten, die nur von den
Koordinaten der Stützstellen abhàngen und von sonst nichts und also
nur einmal berechnet zu werden brauchen und dann als Fixwerte
hinterlegt werden können.

(Beispiel:

Die Koordinaten seien

M_1 = [ 7, 12]
M_2 = [ -8, 10]
M_3 = [-13, -2]
M_4 = [ -6, -12]
M_5 = [ 7, -13]
M_6 = [ 14, -1]

Dann ergibt sich ein Gewichtevektor

G = [-3,34426, 4,36825, -5,24441, 5,72483, -4,51277, 4,00835] )

Das ist mir bei so einem "krummen" Feldverlauf wie mit einer
quadratischen Form irgendwie einen Tick zu einfach - habe ich dabei
irgendwo einen Bock geschossen?



Habe ich: Das ganze Verfahren taugt nichts. (U. a.) wenn die
Stützstellen auf einem Kreis (allgemein: einer Kegelschnittlinie?)
liegen, hat die Matrix K nicht den vollen Rang und kann nicht
invertiert werden.

Man sieht es z. B., wenn man annimmt, das zu bestimmende Feld sei eine
parabolische Kappe. Dann haben alle Stützpunkte auf einem Kreis um das
Extremum den gleichen Meßwert, und damit làßt sich nichts über die
Koeffizienten der quadratischen Glieder aussagen, d. h. die können
beliebig gewàhlt werden, und damit ist der zu interpolierende Wert im
Zentrum völlig unbestimmt.

Bei meinem Beispiel liegen die Stützpunkte nur annàhernd (sehr grob)
auf einem Kreis - damit ist die Matrix zwar noch invertierbar und
liefert somit eine eindeutige Lösung, aber sie ist schlecht
konditioniert, so daß die Lösung insofern ungenau ist, daß sie für
fehlerhafte Meßwerte (also solche, die zufàllig etwas vom exakten Wert
abweichen, also der Normalfall einer Messung) ziemlich große
Streuungen beim interpolierten Wert erzeugen. Schade, Stützpunkte, die
in alle Richtungen ungefàhr gleich weit vom interessierenden Aufpunkt
entfernt liegen, sind bei solchen Fragen eher der Normalfall.

Es bleibt also nichts anderes übrig, als auf die quadratische Form zu
verzichten und eine MLE für die Parameter einer approximierenden Ebene
durchzuführen (was in der Praxis eine LSE bedeutet). Wenn die
Srützpunkte ein symmetrisches Sechseck um das Zentrum bilden, dann
sollten die Gewichte wohl alle gleich 1/6 sein.


Gruß aus Bremen
Ralf
R60: Substantive werden groß geschrieben. Grammatische Schreibweisen:
adressiert Appell asynchron Atmosphàre Autor bißchen Ellipse Emission
gesamt hàltst Immission interessiert korreliert korrigiert Laie
nàmlich offiziell parallel reell Satellit Standard Stegreif voraus

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