Nochmal Überdeckung der rationalen Zahlen

16/06/2011 - 11:43 von Jürgen R. | Report spam
Man kann folgendermaßen eine irrationale Zahl
im Komplement der Überdeckung der rationalen
bestimmen:

Es sei {r_n}, n = 1, 2, ..., eine beliebige Abzàhlung
der rationalen Zahlen im Intervall (0,1).
(a,b) bedeutet hier und im weiteren das offene
Intervall zwischen a und b.

Es sei ferner
U_n = (r_n - 1/(2^{2n+1}), r_n + 1/(2^{2n+1}) \cap (0,1),

und daher U = Sum {U_n} eine offene Überdeckung der
rationalen Zahlen in (0,1). Das Lebesgue´sche
Maß von U ist < 1/3.

Es sei nun x_0 = 1/3 und
x_{n+1} = Min{ y | y >= x_n, y im Komplement von U_n }.

Dann ist {x_n} eine nicht abnehmende Cauchy-Folge und
x = lim_n {x_n} liegt in (0,1). Es ist nicht
schwer zu beweisen, dass x im Komplement von U liegt
und deshalb irrational ist.


Herr Mückenheim konnte diese Konstruktion nicht
verstehen und meinte u.a.:

<Zitat>
Die Frage ist: Kann man verhindern, dass seine x_n große Sprünge
machen? Kann man für ein gegebenes Epsilon >0 ein n_0 finden, so dass
| x_n - x_(n+1) | < eps gilt?

Das kann man nicht - jedenfalls nicht in der von ihm konzipierten
Folge. Es ist nàmlich möglich, dass sein x_n in einer sehr schmalen
unüberdeckten Lücke liegt, an die rechts ein überdecktes Intervall >
eps anschließt.

Wird die Lücke dann geschlossen, so ist
| x_n - x_(n+1) | > eps.

Ob und wann die Lücke geschlossen wird, ist aber nicht bekannt.
Deshalb versagt sein Beweis. Von einer Konstruktion zu sprechen ist
natürlich ohnehin falsch, wenn man den Wert nicht angeben kann.
<Ende Zitat>


Ich gab Mückenheim 3 Tage Zeit, um nochmal zu versuchen,
diesen peinlichen Unsinn und seine weiteren widersprüchlichen
Behauptungen zu korrigieren, was ihm natürlich
nicht gelang. Also bleibt seine Mathe-Note 5.

1. Die Folge {x_n} ist monoton nicht fallend.

2. x_n < 2/3 für alle n und daher ist {x_n} beschrànkt;
denn x_0 = 1/3 und das Intervall
(1/3, x_n) ist durch U_0, U_1, ... , U_n lückenlos
überdeckt. Ein solches Intervall kann nicht lànger
als 1/3 sein.

3. Eine beschrànkte monotone Folge in |R konvergiert
und jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge,
d.h. zu jedem vorgegebenem eps > 0
existiert ein N, derart dass |x_n - x_m| < eps
für alle n,m > N.

4. Mückenheim beobachtet richtig, dass |x_n - x_{n-1}|
im allgemeinen größer als die Lànge von U_n sein
wird und meint darin einen Widerspruch zu sehen,
den er aber nicht recht in Worte fassen kann, und
dies trotz der jedem Kind gelàufigen Tatsache (3.).

Folgende Betrachtungsweise klàrt den vermeintlichen
Widerspruch:

Sei eps > 0 beliebig vorgegeben, dann gibt es unter
den Abstànden |x_n - x_{n-1}| nicht mehr als 1/(3*eps)
die >= eps sind, also nur endlich viele. Sei
N der größte derartige Index, dann gilt für
alle n,m > N die Ungleichung |x_n - x_m| < eps.

5. Die Konstruktion erlaubt offensichtlich die numerische
Berechnung des Grenzwertes x, vorausgesetzt dass die
Abzàhlung {|Q \cap (0,1)} <-> |N durch einen expliziten
Algorithmus gegeben ist.
 

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#1 WM
16/06/2011 - 15:05 | Warnen spam
On 16 Jun., 11:43, Jürgen R. wrote:

5. Die Konstruktion erlaubt offensichtlich die numerische
   Berechnung des Grenzwertes x, vorausgesetzt dass die
   Abzàhlung {|Q \cap (0,1)} <-> |N durch einen expliziten
   Algorithmus gegeben ist.



und zwar so dass kein einiges q_n fehlt. Denn dessen Intervall könnte
dafür sorgen, dass das in einer sehr schmalen Lücke residierende x
daraus vertrieben wird. Ohne die Existenz eines solchen q_n würde x
den Grenzwert Deiner Folge darstellen. Ohne eine vollstàndige und
beendete Abzàhlung, die selbstverstàndlich niemals vorhanden sein
kann, taugt also Dein Verfahren nichts.

Du hast nichts konstruiert und drehst offenbar jetzt völlig durch.

Kein Grund zur Panik. Nimm eine neues Pseudonym an und melde Dich nach
eine Schamfrist zurück.

Gruß, WM

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