Nochmal Wahrscheinlichkeit

27/09/2016 - 10:31 von Manfred Ullrich | Report spam
Ein Klotz radioaktives Material erzeuge durchschnittlich(!) pro Minute einen Zerfall.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach genau einer Minute 1, 3, 5, 7, 9 usw., also eine ungerade Anzahl von Zerfàllen geschehen ist?
Mit der Poisson-Verteilung kann man alle Einzelwahrscheinlichkeiten ausrechnen und aufaddieren, aber es geht auch weniger mühsam.
Ergebnis: 0,432332358381693654053...

Gruß, Manfred
 

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#1 Rainer Maria Toschke
27/09/2016 - 17:56 | Warnen spam
Am .09.2016, 10:31 Uhr, schrieb Manfred Ullrich :

Ein Klotz radioaktives Material erzeuge durchschnittlich(!) pro Minute
einen Zerfall.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach genau einer Minute 1, 3,
5, 7, 9 usw., also eine ungerade Anzahl von Zerfàllen geschehen ist?
Mit der Poisson-Verteilung kann man alle Einzelwahrscheinlichkeiten
ausrechnen und aufaddieren, aber es geht auch weniger mühsam.
Ergebnis: 0,432332358381693654053...

Gruß, Manfred



Wenn es nur darum geht, die Summation über die Poissonverteilung zu
vereinfachen, könnte man aus der Summenformel - mit my=1(!) - genau die
Summanden mit den ungeraden Indizes berücksichtigen:

Mit X:=Anzahl der Zerfàlle
ergibt sich dann

sum[k=1..inf](P(X=2k-1)
= sum[k=1..inf](1/(2k-1)!*e^(-1))
= e^(-1)*sum[k=1..inf](1/(2k-1)!)
= e^(-1)*sinh(1)
= e^(-1)*(e-e^(-1))/2
= (1-e^(-2))/2

bzw. eine beliebige Umformung des Terms, womit man das Ergebnis relativ
leicht nachvollziehen kann.

Oder ist vielleicht eine ganz andere Art von Vereinfachung gemeint?
Ein alternativer Zugang etwa? Dazu ist mir leider nichts eingefallen.

Gruß, Rainer

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