Nochmals diophantisches - und meine Versicherung nicht nerven zu wollen.

08/06/2010 - 22:01 von neubert | Report spam
Moin moin Ihr,

diese soll meine Zusammenfassung und dann die Fortsetzung des Threads
http://groups.google.de/group/de.sc...f1e?hl=de#
sein - weil mir nur 'ne Menge, aber eben nicht alles, klar geworden
ist.

Bitte, wer mag siehe dazu
http://www.tu-harburg.de/rzt/rzt/sn/MatheIstSchoen .
Ich zittiere mal daraus:

" ... Wie findet man nun U und V algorithmisch (und nicht durch
probieren!):

Wir suchen 11x + 9y -125z = 0, also gilt y= (-11x +125z)/9 = -x +13z +
(-2x +8z)/9 = -x +13z +a,
wobei a immer (für alle x,y,z ganzzahlig) eine ganze Zahl sein muß!

Für a gilt also a= (-2x +8z)/9 oder x= (-9a +8z)/2= -4a + 4z -a/2 -4a +4z +b (b wie a muß ganz sein!).
Also 2b= -a und damit x= 9b +4z und y= -(9b +4z) +13z -2b= -11b +9z.

Nun - benennen wir b=u und v=z um und - erhalten letztendlich:
x= 9u + 4v, y= -11u +9v und z= v bzw.:

U= (9, -11, 0) und V= (4, 9, 1) und damit:
IL := X0 + uU + vV = (130, 176, 24) + u (9, -11, 0) + v (4, 9, 1)

Dieses Verfahren liefert sogar speziell U und V (ich nenne sie mal
"minimal"),
weil man mit ihnen tatsàchlich alle Lösungen findet! (Bleibt die
Frage, warum ist das so!?) ...".

Man löst immer nach der Variablen mit dem kleinsten Koeffizienten auf
(das muß wohl auch so sein!).
Das stellt zwar sicher, daß das Verfahren gegen ganzzahlige Lösungen
"konvergiert", aber wieso diese "Minimalitàtseigenschaft" der (U,V).

Und ja, man kann diese Reduktion wohl auch allgemeiner als
"Matrixinversion" o.à. formulieren,
aber das konterkariert meine Fragen (s.u.) nicht wirklich!

( Achtung, in dem Gesamttext "MatheIstSchoen.pdf" sind noch kleine
Fehler, aber ich komme heute Abend nicht da ran - ich überarbeite den
Text sobald ich kann (und schreibe dann ein Datum dazu!).
für meine Ausführungen hier sollten besagte "Unsauberkeiten" eh' aber
keine konsequenzen haben. )

Was habe ich nun für Fragen:

U und V spannen also einen zweidimensionalen Unterraum auf, wenn u,v
aus IR sind. Sie sollen ja aber ganzzahlig sein. Dadurch "generieren"
X0 + uU + vV ein zweidimensionales Gitter, daß in der Ebens von <U,V>
liegt - siehe auch in meinem originàren Text.

Das Verfahren oben liefert minimale U, V, d.h. eine "Betragsmàßig
kleine Basis", die alle Gitterpunkte "adressiert".
Wie - wodurch - stellt die Rechnung (das Verfahren) diese Eigenschaft
sicher???

Und, es heißt in den Beitragen in dem originàren Tread öfters, des
gàbe Transformationen
(eine ... Transformationsmatrix) die andere Basen liefern würde.
Ich meine aus dem Ausdruck des EXCEL-Blattes und der Skizze "sieht
man", das es höchstens triviale weitere Basen U', V' geben kann, die
auch alle Gitterpunkte adressiert
- oder warum tàusche ich mich?

Gàbe doch mal jemand eine (nachrechenbare) Transformation als Beispiel
(für obiges Problem und die Vektoren U, V an. Wie sieht (U', V') = M
(U, V) - speziell eben die Matrix M - denn genau aus?

Ich möchte ganz sicher nicht mit diesem neuen Thread nerven - ggf. mea
maxima culpa -
und hoffe auf weitere Beitràge, aus denen ich meine Fragen erschließen
kann.

Danke.

Mit freundlichen Grüßen

Siggi N. - Hamburg

(P.S.: Und ich bin ein Wechselstabenverbuxler, seht es mir bitte auch
noch nach!)
 

Lesen sie die antworten

#1 Jutta Gut
09/06/2010 - 16:00 | Warnen spam
Hallo Siggi!

schrieb

" ... Wie findet man nun U und V algorithmisch (und nicht durch
probieren!):

Wir suchen 11x + 9y -125z = 0, also gilt y= (-11x +125z)/9 = -x +13z +
(-2x +8z)/9 = -x +13z +a,
wobei a immer (für alle x,y,z ganzzahlig) eine ganze Zahl sein muß!

Für a gilt also a= (-2x +8z)/9 oder x= (-9a +8z)/2= -4a + 4z -a/2 > -4a +4z +b (b wie a muß ganz sein!).
Also 2b= -a und damit x= 9b +4z und y= -(9b +4z) +13z -2b= -11b +9z.

Nun - benennen wir b=u und v=z um und - erhalten letztendlich:
x= 9u + 4v, y= -11u +9v und z= v bzw.:

U= (9, -11, 0) und V= (4, 9, 1) und damit:
IL := X0 + uU + vV = (130, 176, 24) + u (9, -11, 0) + v (4, 9, 1)

Dieses Verfahren liefert sogar speziell U und V (ich nenne sie mal
"minimal"),
weil man mit ihnen tatsàchlich alle Lösungen findet! (Bleibt die
Frage, warum ist das so!?) ...".



Einen Beweis habe ich auch (noch) nicht, nur ein paar gedanken dazu:
Die Lösungen der Gleichung bilden ein Punktgitter in der Ebene
11x + 9y - 125z = 0,
also eine Ebene mit dem Normalvektor (11,9,-125).
Man erhàlt alle Punkte dieses Gitters, wenn die Basisvektoren einen
Fundamentalbereich au8fspannen, d.h. ein Parallelogramm, in dem keine
weiteren Gitterpunkte liegen. Das ist nur dann der Fall, wenn die
Koordinaten des Kreuzprodukts UxV teilerfremd sind (oder das
verallgemeinerte Kreuzprodukt in höheren Dimensionen).

Anscheinend sorgt der Algorithmus dafür, dass die Koordinaten die
Koeffizienten der Gleichung ergeben (ev. bis auf das Vorzeichen), und die
sind ja nach Voraussetzung teilerfremd.

Ich werde in den nàchsten Tagen versuchen, das sauber zu beweisen.

lg
Jutta

Ähnliche fragen