Normierte Algebra

12/12/2013 - 00:02 von Jan Fricke | Report spam
Hallo,
eine normierte Algebra ist ein (endlichdimensionaler) reeller Vektorraum
mit einer R-bilinearen Multiplikation und einer "vertràglichen" Norm, d.h.
|ab| = |a| * |b|.

In den Büchern dazu wird jedoch immer automatisch eine euklidische Norm
(also eine mit passendem Skalarprodukt) verwendet. Kann man (leicht)
zeigen, dass eine solche Norm immer euklidisch sein muss?


Viele Grüße Jan
 

Lesen sie die antworten

#1 Roland Franzius
12/12/2013 - 07:21 | Warnen spam
Am 12.12.2013 00:02, schrieb Jan Fricke:
Hallo,
eine normierte Algebra ist ein (endlichdimensionaler) reeller Vektorraum
mit einer R-bilinearen Multiplikation und einer "vertràglichen" Norm, d.h.
|ab| = |a| * |b|.

In den Büchern dazu wird jedoch immer automatisch eine euklidische Norm
(also eine mit passendem Skalarprodukt) verwendet. Kann man (leicht)
zeigen, dass eine solche Norm immer euklidisch sein muss?



Zumindest in endlich-dimensionalen Darstellungen einer Algebra sind Norm
und Skalarprodukt dasselbe:

x.y := 1/4 ( |x+y|^2-|x-y|^2 )

|x| = sqrt(x.x)

Dann existiiert immer eine Orthormalbasis {e_k} mit e_i. e_k = delta_ik
und damit eine zum euklidischen R^n isomorphe Koordinatendarstellung.
Die Wahl einer Koordinaten-Darstellung im R^n kann durch Wahl einer
Basis, einer Permuaition der Indizierung und eine anschließende
Orthonormierung zB nach Gram-Schmidt erfolgen.

In unendlich-dimensionalen Darstellungen müssen meist Zwischenschritte
durch Faktorisierung der Klassen von 0-Vektoren bzgl eines gewàhlten
Zustands eingeschlaltet werden.

Man sagt deshalb auch, dass die Wahl eines Zustands ( =Klasse der
0-Vektoren, Aussonderung der nichtnormierbaren Elemente bzgl der
gewàhlten Norm) die Darstellung erzeugt.

Standardbeispiel mit allen Komplikationen:

Funktionen (0,1) -> C

L_p-Norm
|f|_p = ( int_0^1 dx (Abs(f(x))^p )^(1/p)

Ohne weitere Einschrànkungen ist das die Klasse der meßbaren Funktionen
mit L_p-integrablen Singularitàten als Ausgangsklasse. Daraus eine
Algebra mit (f,g)(x) = f(x)*g(x) zu machen, für die auch endliche
Produkte und Potenzen in L_p liegen, ist ein Problem.

Die Bestimmung einer darin dichten Teilmenge und einer Basis ist ein
schönes Problem der Funktionalanalysis, algebraische Abteilung.


Roland Franzius

Ähnliche fragen