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Nullmenge mit abzählbar vielen Intervallen

11/05/2008 - 19:59 von Peter Christ | Report spam
Hallo an diesem schönen langen Wochenende,

ich beschàftige mich momentan mit Nullmengen und frage mich wo in der
folgenden Argumentation mein Fehler liegt.

Es gilt:
- abzàhlbare Teilmengen von R sind Nullmengen
- die Menge N der natürlichen Zahlen ist abzàhlbar

=> N ist eine Nullmenge.

Aber:

Sei e>0 und (I_k) eine abzàhlbare und offene Überdeckung von N mit
Sum(1..oo, |I_k|) <= e.
Angenommen |I_k|=c>0 für alle k (alle gleich lang).
Dann gilt
Sum(1..oo, |I_k|) = lim(n->oo) n*c <= e,
und somit
c <= lim(n->oo) e/n = 0,
woraus folgt das c=0. Also haben alle Intervalle eine Lànge von 0, im
Widerspruch dazu das sie offen sein sollen.

Wie kann man also über abzàhlbar viele (also unendlich viele) Intervalle
summieren und am Ende eine beliebig kleine Zahl bekommen.

Grüße, Peter
 

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#1 Hero Wanders
11/05/2008 - 21:01 | Warnen spam
Hallo,

Sei e>0 und (I_k) eine abzàhlbare und offene Überdeckung von N mit
Sum(1..oo, |I_k|) <= e.



Ok.


Angenommen |I_k|=c>0 für alle k (alle gleich lang).



*Angenommen*!

Dann gilt
Sum(1..oo, |I_k|) = lim(n->oo) n*c <= e,
und somit
c <= lim(n->oo) e/n = 0,
woraus folgt das c=0. Also haben alle Intervalle eine Lànge von 0, im
Widerspruch dazu das sie offen sein sollen.



Du folgerst einen Widerspruch, also ist deine Annahme alle I_k könnten
das gleiche positive Volumen c haben falsch.

Damit hast du bewiesen, dass es *so* eine Überdeckung nicht gibt.
Aber vielleicht gibt es ja andere?

Gruß
Hero

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