Nullstellen von Polynomen in normierten Körpern

14/04/2009 - 07:51 von Jan Fricke | Report spam
Hallo!
In den reellen und komplexen Zahlen hàngen ja die Nullstellen eines
Polynoms stetig von den Koeffizienten ab, solange es keine mehrfachen
Nullstellen gibt und sich der Grad nicht àndert. Das zeigt man mit dem
Satz über implizite Funktionen -- man bekommt damit sogar, dass die
Nullstellen analytisch von den Koeffizienten abhàngen.

Gilt diese Eigenschaft auch dann noch, wenn man die reellen bzw.
komplexen Zahlen durch einen beliebigen normierten Körper ersetzt?

Diese Frage kam mir im Zusammenhang mit der Konstruktion von C_p. Da
habe ich gleich noch eine:

Es sei K ein normierter, algebraisch abgeschlossener Körper. Ist dann
auch die Vervollstàndigung algebraisch abgeschlossen?


Viele Grüße Jan
 

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#1 earthnut
19/04/2009 - 11:46 | Warnen spam
Jan Fricke wrote:

Hallo!
In den reellen und komplexen Zahlen hàngen ja die Nullstellen eines
Polynoms stetig von den Koeffizienten ab, solange es keine mehrfachen
Nullstellen gibt und sich der Grad nicht àndert. Das zeigt man mit dem
Satz über implizite Funktionen -- man bekommt damit sogar, dass die
Nullstellen analytisch von den Koeffizienten abhàngen.

Gilt diese Eigenschaft auch dann noch, wenn man die reellen bzw.
komplexen Zahlen durch einen beliebigen normierten Körper ersetzt?



Ich glaub schon. Wegen der Translationsinvarianz der Normtopologie
müsste es doch genug sein das für Polynome mit einfacher Nullstelle bei
0 zu zeigen.

Sei also p(x) = sum[k=1..n] ak x^k ein solches mit an,a1 =/= 0 und eps
kleiner als |an| und |a1|. Sein nun |vk| < eps und q(x) = sum[k=1..n]
(ak+vk) x^k + v0 eine kleine Variation von p. Gesucht ist dann die
Nullstelle von q.

Wegen 0 = q(x) = v0 + (a1+v1)x + sum[k=2..n] (ak+vk) x^k ==> x -v0/(a1+v1) - sum[k=2..n] (ak+vk)/(a1+v1) =: f(x) und |f(x)-f(y)|/|x-y|
<= sum[k=2..n] |ak+vk|/|a1+v1| |x^k - y^k|/|x-y| < eps * polynom(eps)
für |x|,|y| < eps kann beliebig klein gemacht werden, ist f in einer
Umgebung von 0 kontrahierend und x = f(x) hat daher nach dem
Fixpunktsatz von Banach dort eine eindeutige approximative Nullstelle.

Wegen q(x) = v0 + (a1+v1)x + o(x) = 0 ==> x + o(x) = O(v0) muss diese in
der Nàhe von 0 liegen wenn q nur wenig von p abweicht (oder?).

Nützt das nun schon was? Oder fehlt noch, dass auch genug von den
Nullstellen überhaupt in dem unvollstàndigen Körper existieren?

Diese Frage kam mir im Zusammenhang mit der Konstruktion von C_p. Da
habe ich gleich noch eine:

Es sei K ein normierter, algebraisch abgeschlossener Körper. Ist dann
auch die Vervollstàndigung algebraisch abgeschlossen?



Würde das dann aus Vorherigem folgen? Oder gibt es da noch ein paar
unangenehme Spezialfàlle, wenn die Polynome den Grad wechseln oder
mehrfache Nullstellen haben?

Viele Grüße Jan



Grüße
Bastian

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