Offene Mengen durch reguläre Fläche trennen.

23/08/2007 - 10:52 von eric.boese-wolf | Report spam

Liebe Newsgroup,

ich stehe vor folgendem Problem. Sei O eine offene Menge in W so,
dass der AbschluàŸ von O kompakt ist und noch ganz in W liegt, dann
konstruiere eine offene Menge V mit C^1-Rand, welche O enthà¤lt und
deren AbschluàŸ kompakt ist und noch ganz in W liegt.

Meine Ideen waren folgendes:

àœberdecke den Rand von O mit Wà¼rfeln, welche noch ganz in W liegen,
da der Rand von O kompakt ist, kann ich endlich viele Wà¼rfel
aussortieren, welche den Rand von O à¼berdecken. Nun ist O vereinigt
mit den endlich vielen Wà¼rfeln eine Quadermenge (Beweis?) und hat
als solche Lipschitzrand. (Beweis?)

Die Probleme mit dieser Idee: Beweisen, dass O vereinigt mit den endlich
vielen Wà¼rfeln eine Quadermenge ist und das eine beliebige Quadermenge
Lipschitzrand hat. Man mà¼sste hierzu ein Verfahren angeben, um eine
Karte in jedem Punkt zu bestimmen, damit alles formal korrekt ist. Da
Fallen mir aber nur Fallunterscheidungen ein: z.B. Liegt der Punkt
auf dem Rand genau eines Wà¼rfels oder auf dem Schnitt der Rà¤nder
mehrerer Wà¼rfel, usw ... alles nicht sehr schön

Zweite Idee: Ich à¼berdecke den Rand mit Kugeln vom Radius eps, welche
noch ganz in W liegen, dann betrachte ich die Kugeln mit gedritteltem
Radius, welche auch noch den Rand à¼berdecken (man denke sich in jedem
Randpunkt eine Kugel angeheftet) und wà¤hle hier endlich viele aus. Nun
nehme ich eine C^1 Funktion f mit f ist eins auf 0 bis eps/3 und null
auf 2eps/3 bis 1, dann werte ich fà¼r jede meiner endlich vielen Kugeln f
an der stelle || x - r_i ||^2 aus und erhalte Funktionen f_i, dann
addiere ich all diese Funktionen und erhalte so eine Funktion, welche
auf den eps/9 radien der Kugeln >=1 ist, ich kann sie also auf ganz O
mit Tietze so fortsetzen, dass sie auf O >=1 ist und auàŸerhalb von O
C^1, auàŸerhalb der Kugeln ist die Funktion 0. Nun könnte ich doch
{x|f(x)>1/2} als offene Menge und {x|f(x)=1/2} als Rand dieser Flà¤che
nehmen, aber um zu beweisen, dass diese Flà¤che regulà¤r ist, brà¤uchte
ich, dass der Gradient f nicht null ist in diesen Punkten, was mir nicht
gelingen will. Ich mà¼sste zeigen, dass x-r_1, ..., x-r_k linear
unabhà¤ngig sind, was natà¼rlich nicht immer der Fall sein muss.

Hat jemand bessere, leichter umsetzbare Ideen? Vielleicht
Literaturangaben?

Viele Grà¼àŸe

Eric Böse-Wolf


 

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#1 Christopher Creutzig
27/08/2007 - 15:29 | Warnen spam
Eric Böse-Wolf wrote:

ich stehe vor folgendem Problem. Sei O eine offene Menge in W so,
dass der Abschluß von O kompakt ist und noch ganz in W liegt, dann
konstruiere eine offene Menge V mit C^1-Rand, welche O enthàlt und
deren Abschluß kompakt ist und noch ganz in W liegt.



In dieser Allgemeinheit gibt es nicht immer eine Lösung. Wenn W eine
kompakte Menge ist, deren Rand nicht in C^1 liegt und O ihr Inneres, so
dass Der Abschluss von O gleich W ist (wie hieß diese Eigenschaft von W
doch gleich?), gibt es kein solches V. Oder gibt es einen guten Grund,
warum es keine solche Menge W geben kann?

if all this stuff was simple, we'd
probably be doing something else. -- Daniel Lichtblau, s.m.symbolic

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