Operationen auf Zufallsvariablen (Gesetz der großen Zahlen)

07/05/2013 - 11:48 von Alexander Seidl | Report spam
Hallo liebe NG,
ich habe ein Problem mit dem Verstàndnis von Zufallsvariablen.

Laut Definition ist eine Zufallsvariable:

"Wenn (Omega, P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist, so nennen
wir eine Abbildung X: Omega -> |R eine reellwertige Zufallsvariable"

Nun habe ich bemerkt, dass oftmals Operationen auf Zufallsvariablen, die
ja eine Funktionen sind, und relle Zahlen angewendet werden. Wie z.B. im
Gesetz der großen Zahlen:

"Sei X_1, X_2, X_3, ... eine Folge reellwertiger, unkorrellierter
Zufallsvariablen und Var(X_i) <= M < inf für alle i. Dann konvergiert
die Folge

Z_n := 1/n * sum_i=1_n(X_i-E(X_i))

fast sicher gegen 0."

Und da hakts bei mir. Denn: Wie kann ich im obigen Ausdruck von einer
Funktion X_i eine relle Zahl E(X_i) abziehen?

MfG,
Alexander
 

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#1 Roland Franzius
07/05/2013 - 12:46 | Warnen spam
Am 07.05.2013 11:48, schrieb Alexander Seidl:
Hallo liebe NG,
ich habe ein Problem mit dem Verstàndnis von Zufallsvariablen.

Laut Definition ist eine Zufallsvariable:

"Wenn (Omega, P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist, so nennen
wir eine Abbildung X: Omega -> |R eine reellwertige Zufallsvariable"

Nun habe ich bemerkt, dass oftmals Operationen auf Zufallsvariablen, die
ja eine Funktionen sind, und relle Zahlen angewendet werden. Wie z.B. im
Gesetz der großen Zahlen:

"Sei X_1, X_2, X_3, ... eine Folge reellwertiger, unkorrellierter
Zufallsvariablen und Var(X_i) <= M < inf für alle i. Dann konvergiert
die Folge

Z_n := 1/n * sum_i=1_n(X_i-E(X_i))

fast sicher gegen 0."

Und da hakts bei mir. Denn: Wie kann ich im obigen Ausdruck von einer
Funktion X_i eine relle Zahl E(X_i) abziehen?



Das ist keine Zahl, sondern eine auf Omega konstante Funktion. Diese
Unterscheidung wird aber generell auf allen Funktionenràumen für die
konstanten Funktionen nicht gemacht, da man sonst ja auch die
arithmetischen Operationen "+" und "*" für Zahlen und Funktionen
unterscheiden müsste.

Kritisch wird es halt bei Operationen auf Tupeln nichtkonstanter
skalarer Funktionen, da das unbedarfte lineare Hantieren damit
impliziert, dass die Argumente aller Funktionen gleich zu sein haben,
wàhrend verschiedene Argumente zum cartesischen oder Tensorprodukten
führen.

Für die Wahrscheinlichkeitsrechnung macht das gerade den Unterschied
zwischen Funktionen von Zufallsvariablen, die alle auf demselben Punkt
ausgewertet werden, und zB Korrelationen wo die Tupel identisch
verteilter Zufallsvariablen oben auf unabhàngigen Ràumen Omega_i zu
nehmen sind.


Roland Franzius

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