Ordinalzahlen oder Ordinalmengen

26/06/2008 - 00:01 von Albrecht | Report spam
Die mengentheoretische Definitionen der Ordinalzahlen (besser:
Ordinalmengen) lautet nach Wikipedia:

n_0 = {} und n' = n U {n}

Dabei ist n_0 das "Urelement" und n' die Nachfolgermenge der Menge n.
(Ich wuerde eher n_1 = {} schreiben, aber halte mich hier an die
Konventionen.)

Damit entsteht die Folge von "Ordinalmengen"

0 -> {}
1 -> { {} } = {0}
2 -> { {}, {{}} } = {0, 1}
3 -> { {}, {{}}, { {}, {{}} } } = {0, 1, 2}
...

Jede dieser "Ordinalmengen" enthaelt ihre Vorgaenger.

Diese Definition des Nachfolgers ist etwas ungewoehnlich. Ich moechte
diese Nachfolgerbildung etwas naeher betrachten.
Zur Analyse fuehre ich einen neuen Operatoren "] ["ein.

Das Symbol" ]n[" soll anzeigen, dass die Menge n in ihre Elemente
aufgeloest ist. So waere z.B. ] { {}, {{}} } [ = {} und {{}} (diese
Schreibweise ist so nicht eindeutig, ich weiss, es geht hier nur
darum, das Prinzip zu verdeutlichen.)

Mit dieser Konvention kann man schreiben:
n' = n U {n} <=> n' = { ]n[ , n }

Mit dieser Umschreibung moechte ich auf folgenden Umstand hinweisen:
Die Vereinigung von zwei Mengen A und B wird dadurch gebildet, dass
die Elemente der Mengen A und B extrahiert werden und mit diesen
Elementen dann eine neue Menge gebildet wird.
Also A U B = { ]A[ , ]B[ } mit der eingeführten Hilfsschreibweise.
Formal entfernt ] [ die aeussersten Mengenklammern einer Menge.

Wenn wir n' betrachten, so ist n der Vorgaenger von n'.
Und ]n[ wiederum ist der oder sind die Vorgaenger von n.
Somit wird eine Ordinalmenge gebildet indem diese Menge aus dem
Vorgaenger und dem Vorgaenger (oder den Vorgaengern) des Vorgaengers
gebildet wird.

Diese Prinzip greift also erst dann vollstaendig, wenn mindesten zwei
Vorgaenger vorausgehen. Die zweite Ordinalmenge { {} } wird nur aus
dem Vorgaenger {} gebildet, da nur nur ein Vorgaenger existiert. Erst
bei der Bildung der dritten Ordinalmenge, also (0,1), wird das
Bildungsprinzip der Nachfolgeroperation tatsaechlich in vollem Umfang
wirksam.

Mit meiner eingefuehrten Konvention:

0 -> {}
1 -> { ] {} [ , {} } { {} } mit ] {} [ = nichts
2 -> { ] {{}} [ , {{}} } = { {},
{{}} } mit ] {{}} [ = {}
3 -> { ] { {}, {{}} } [ , { {}, {{}} } } = { {}, {{}}, { {},
{{}} } } mit ] { {}, {{}} } [ = {} und {{}}
...

Formal wird also beim Uebergang vom ersten zum zweiten Glied der Folge
ein in der Mengenlehre nicht definiertes Element gebildet: ] {} [ nichts

Diese Form der Nachfolgerbildung liefert allem Anschein nach ein
erwuenschtes Ergebnis: Ein Folge von Ordinalmengen in der jede Menge
genau die ihr vorausgehenden Mengen enthaelt.

Kann man aber auf eine andere Weise dieses Bildungsgesetz begruenden,
oder heilig hier das Ergebnis einfach nur die Mittel?

Zum Vergleich hier noch einmal die elementare, natuerliche
Ordinalzahlbildung:

1. -> X = 1
2. -> XX = 2
3. -> XXX = 3
...

Hier ist das Urelement X und für die Ordinalzahl n wird der Nachfolger
n' nach

n' = nX

gebildet, indem einfach ein Element angefuegt wird. Dieses System ist
durchgaengig monoton, konsequent und natuerlich.

Ich halte die mengentheoretische Ordinalzahlbildung für ein
gekuensteltes System, das nicht das eigentliche Wesen der
Ordinalzahlen widerspiegelt. Die natuerlichen Ordinalzahlen enthalten
ihre Vorgaenger _und_ sich selbst. Es ist das Wesen der natuerlichen
Zahlen, ihre Stellung in der Folge der Ordinalzahlen anzugeben, die
Anzahl ihrer Elemente wiederzugeben und als (echte und unechte) Teile
ihre Vorgaenger und sich selbst zu enthalten.

Waehrend die mengentheoretische Ordinalzahlenreihe die Existenz einer
Menge nahe legt, die groesser ist als jede endliche Menge, muss aus
der natuerlichen Ordinalzahlreihe

X
XX
XXX
...

gefolgert werden, dass es keine unendliche Gesamtheit geben kann. Denn
eine unendliche Gesamtheit wuerde hier eine unendliche natuerliche
Zahl

XXXX ...

implizieren.

Gruss
Albrecht
 

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#1 Peter Niessen
26/06/2008 - 02:12 | Warnen spam
Am Wed, 25 Jun 2008 15:01:35 -0700 (PDT) schrieb Albrecht:

Die mengentheoretische Definitionen der Ordinalzahlen (besser:
Ordinalmengen) lautet nach Wikipedia:

n_0 = {} und n' = n U {n}

Dabei ist n_0 das "Urelement" und n' die Nachfolgermenge der Menge n.
(Ich wuerde eher n_1 = {} schreiben, aber halte mich hier an die
Konventionen.)

Damit entsteht die Folge von "Ordinalmengen"

0 -> {}
1 -> { {} } = {0}
2 -> { {}, {{}} } = {0, 1}
3 -> { {}, {{}}, { {}, {{}} } } = {0, 1, 2}



Kein Mensch hat etwas gegen diese "von Neumann" Definition der ordinalen
Zahlen denn diese ist superelegant. Du übersiehst da mal wieder wieder das
jede wohlgeordnete Menge ein Representant einer Ordinalzahl ist. warum dass
so ist, sei eine Denkaufgabe für dich. Kamke (ich habe ihn dir genannt)
magst du ja nicht lesen.

mfg Peter

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