Orthogonale Polynome ?

25/06/2008 - 08:52 von Gottfried Helms | Report spam
Hi -

ich setze mich gerade mit dem Thema "orthogonale
Polynome" auseinander, und habe ein Problem, aus
der gàngigen Integral-definition (m)eine Matrix-
definiton herzuleiten.

Wenn ich die Matrix der Koeffizienten zum Beispiel
H der Hermiteschen Polynome nehme, dann beobachte
ich, daß -anscheinend nur für orthogonale Polynome-
folgende Relation besteht:

H * J * H^-1 = D (=diagonal-matrix)

wobei J = diag(1,-1,1,-1,...)

Anders ausgedrückt:
bezeichne ich die Koeffizenten für das n'te Her-
mitesche Polynom H_n(x) mit h_(n,k), so daß

H_n(x) = sum{k=0..n} h_(n,k)*x^k

und für *die Inverse* G_m(x) von H_m(x) mit g_(n,j), sodaß

G_m(x)= sum{j=0..m} g_(m,j)*x^j

dann scheint

sum{k=0..inf} (-1)^k*h_(n,k)* g_(k,m) = D_(n,m)*[n==m]

wobei [n==m] in Knuth'scher Manier das Kronecker delta
bedeutet (da ich in ASCII kein delta habe), also

[n==m] = 1 wenn n==m
= 0 wenn n<>m

Leider kann ich - wie gesagt - den Zusammenhang mit
der definierenden Integralformel nicht herstellen.
Ist das aber irgendwie möglich? (Oder stimmt meine
Beobachtung eventuell einfach nicht?)

Gruß -

Gottfried
 

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#1 Jan Fricke
28/06/2008 - 11:48 | Warnen spam
Gottfried Helms wrote:
Leider kann ich - wie gesagt - den Zusammenhang mit
der definierenden Integralformel nicht herstellen.
Ist das aber irgendwie möglich? (Oder stimmt meine
Beobachtung eventuell einfach nicht?)



Mir ist nicht ganz klar, ob Du nur die Hermiteschen Polynome zulàsst,
oder ob in der Matrix H beliebige orthogonale Polynome stehen dürfen.

Im ersten Fall ist die Behauptung richtig, und das liegt daran, dass bei
jedem Hermiteschen Polynom entweder alle geraden oder alle ungeraden
Koeffizienten Null sind. Die Zeilen des Produktes H * J sind also wieder
die Hermiteschen Polynome, wobei die mit geradem Grad sich nicht
veràndert haben, wàhrend die mit ungeradem Grad ihr Vorzeichen
gewechselt haben. Das ist aber offensichtlich das gleiche wie das
Produkt D * H, wobei die Diagonalmatrix D dort eine "1" hat, wo in H ein
Hermitesches Polynom geraden Grades steht, und eine "-1", wo der Grad
ungerade ist. Also ist
H * J = D * H <==> H * J * H^(-1) = D.

Im zweiten Fall ist die Behauptung falsch, da die Polynome x-1 und 2x+1
orthogonal sind, aber die entsprechende Matrix H die Behauptung nicht
erfüllt.


Viele Grüße Jan

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