p-Punkte und Ordnungstypen

19/11/2007 - 21:09 von Thomas Haunhorst | Report spam
Ich hab' auch eine Aufgabe, die zwar nicht so schön geometrisch ist
wie Klaus Nagels Aufgabe, aber auch ihren Reiz hat, d.h. bei der man
viel lernen kann. Doch zunàchst eine Definition:

Def.: Sei (S,<) eine abzàhlbare lineare Ordnung. Ein p-Punkt auf S ist
ein freier Ultrafilter D auf S, der folgende Eigenschaft hat: Für jede
Partition P von S, die mit D kein Element gemeinsam hat, gibt es ein X
aus D, so dass für alle B aus P der Schnitt (B n X) endlich ist.

Man zeige: Ist (S,<) eine abzàhlbare lineare Ordnung und D ein p-Punkt
auf S, dann existiert ein X aus D vom Ordnungstyp w (Omega, die Menge
der nat. Zahlen) oder w*. (X hat den Ordnungstyp w*, wenn
X={x_n: n\in w} mit x_0 > x_1 > x_2 > ... > x_n > x_{n+1} > ... gilt.


Thomas Haunhorst
 

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#1 Brian M. Scott
20/11/2007 - 07:02 | Warnen spam
On Mon, 19 Nov 2007 21:09:57 +0100, Thomas Haunhorst
wrote in
<news:fhsqil$qb0$03$ in
de.sci.mathematik:

Ich hab' auch eine Aufgabe, die zwar nicht so schön
geometrisch ist wie Klaus Nagels Aufgabe, aber auch ihren
Reiz hat, d.h. bei der man viel lernen kann. Doch
zunàchst eine Definition:

Def.: Sei (S,<) eine abzàhlbare lineare Ordnung. Ein
p-Punkt auf S ist ein freier Ultrafilter D auf S, der
folgende Eigenschaft hat: Für jede Partition P von S, die
mit D kein Element gemeinsam hat, gibt es ein X aus D, so
dass für alle B aus P der Schnitt (B n X) endlich ist.

Man zeige: Ist (S,<) eine abzàhlbare lineare Ordnung und D
ein p-Punkt auf S, dann existiert ein X aus D vom
Ordnungstyp w (Omega, die Menge der nat. Zahlen) oder w*.
(X hat den Ordnungstyp w*, wenn X={x_n: n\in w} mit
x_0 > x_1 > x_2 > ... > x_n > x_{n+1} > ... gilt.



Für x in S seien R(x) := {y in S : x < y} und L(x) :=
{y in S : y < x}. Genau eine von diesen beiden Mengen ist
Element von D. Seien S_R := {x in X : R(x) in D} und S_L :{x in X : L(x) in D}; ohne Beschrànkung der Allgemeinheit
ist S_R in D.

Lemma. Es gibt X in D, so dass für alle x in S_R die Menge
X\R(x) endlich ist.

Beweisskizze. Sei {x(n) : n in w} irgendeine Abzàhlung von
S_R. Für n in w seien V(n) := R(x(0)) n R(x(1)) n ... n
R(x(n)) und A(n) := V(n)\V(n+1). Für n in w gilt V(n) in D.
P := {A(n) : A(n) ist nicht leer} ist eine Partition von
R(x(0)), die mit D kein Element gemeinsam hat, also gibt es
X in D, so dass für alle n in w der Schnitt X n A(n) endlich
ist. Für n in w ist X\R(x(n)) eine Teilmenge von
X n (A(0) u A(1) u ... u A(n-1)), also endlich.

X ist unendlich, aber für x in X ist {y in x : y < x}
endlich, also hat X den Ordnungstyp w.

Brian

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