Palindrom-Zahlen: hier kommt Satz PALIZWEI

03/08/2015 - 23:46 von Rainer Rosenthal | Report spam
Dies Posting schliesst an den Thread "Palindrom-Zahlen: ist der Satz PALIEINS wahr?" an, soll aber für sich verstàndlich sein.

Man nennt eine Zahl Palindrom oder Spiegelzahl, wenn sie von vorne nach hinten gelesen die gleiche Ziffernfolge hat wie von hinten nach vorne.
Siehe z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Zahlenpalindrom

Es wurde bereits bewiesen (Satz PALIEINS), dass die folgenden Aussagen gelten, und dass das "usw." berechtigt ist:
Das 11-te Palindrom ist 11,
das 111-te Palindrom ist 1111,
das 1111-te Palindrom ist 111111,
das 11111-te Palindrom ist 11111111,
das 111111-te Palindrom ist 1111111111,
usw.

Ich will das mit einem Trennungspunkt schreiben:
Das 1.1-te Palindrom ist 1.1,
das 1.11-te Palindrom ist 11.11,
das 1.111-te Palindrom ist 111.111,
das 1.1111-te Palindrom ist 1111.1111,
das 1.11111-te Palindrom ist 11111.11111,
usw.

Denn auf diese Weise sieht man gut, was das vor sich geht.
Man kann nun einfach schreiben:
Das 1.m-te Palindrom ist m.m, wenn m aus lauter 1-en besteht.

Das war der Satz PALIEINS, den ich mit dieser Bezeichnungsweise
wiederholen möchte.
Bezeichnet man das n-te Palindrom mit Pali(n) und die aus n Einsen aufgebaute
Zahl mit Eins(n), dann gilt:

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Satz PALIEINS

Es gilt Pali(1.m) = m.m für m = Eins(n), n = 1,2,3,...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

"Na und, jetzt hat er bloß an der Bezeichnung geschraubt", könnte der
geneigte Leser murmeln, der mir bis hierher gefolgt ist (danke dafür!).

Aber jetzt kommt's - wie ich mit leichtem Stolz verkünde:

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Satz PALIZWEI

Es gilt Pali(1.p) = p.p für alle Palindrome p
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Beispiel: Pali(16556) = 65566556.

Na, ist das nix? Die Eins(n) sind plötzlich nur spezielle Palindrome,
und Satz PALIEINS ist ein winziger Spezialfall von PALIZWEI.
Macht Spaß, sowas :-)

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de
 

Lesen sie die antworten

#1 Rainer Rosenthal
04/08/2015 - 11:40 | Warnen spam
Am 03.08.2015 um 23:46 schrieb Rainer Rosenthal:
Bezeichnet man das n-te Palindrom mit Pali(n) und die aus n Einsen aufgebaute
Zahl mit Eins(n), dann gilt:

Satz PALIEINS
Es gilt Pali(1.m) = m.m für m = Eins(n), n = 1,2,3,...

Beispiel: Pali(111) = 1111

Satz PALIZWEI
Es gilt Pali(1.p) = p.p für alle Palindrome p

Beispiel: Pali(16556) = 65566556



Satz PALIEINS ist Spezialfall, weil alle Eins(n) Palindrome sind.

Na, ist das nix? Die Eins(n) sind ploetzlich nur spezielle Palindrome,
und Satz PALIEINS ist ein winziger Spezialfall von PALIZWEI.
Macht Spass, sowas :-)



Hugo Pfoertner verdanke ich die praechtige weitere Verallgemeinerung, bei der
die Spiegel-Funktion verwendet wird (Spiegel(123) = 321, Ziffernfolge umgedreht).

Satz PALIDREI
Es gilt Pali(1.m) = m.s wenn s = Spiegel(m) nicht durch 10 teilbar ist

Beispiel: Pali(19876) = 98766789
Satz PALIZWEI ist Spezialfall, weil p = Spiegel(p) für alle Palindrome p gilt,
und weil Palindrome keine führenden Nullen und somit auch keine Null am Ende haben.

Gruß,
Rainer Rosenthal

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