Palindrom-Zahlen: ist der Satz PALIEINS wahr?

30/07/2015 - 12:36 von Rainer Rosenthal | Report spam
Man nennt eine Zahl Palindrom oder Spiegelzahl, wenn sie von vorne nach hinten gelesen die gleiche Ziffernfolge hat wie von hinten nach vorne.
Siehe z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Zahlenpalindrom

Ich habe irgendwo gelesen, jede Zahl könne als Summe aus aus drei Palindromen dargestellt werden.
Das hat mich neugierig gemacht, weil in dem Englischen Text nichts von "Beweis" stand, sondern das Wort "apparently" verwendet wird. Erst dachte ich, das müsse ich mit "offensichtlich" übersetzen, aber mir war da gar nichts offensichtlich, und so tippe ich darauf, dass da jemand mit dem Computer rumprobiert hat und "anscheinend" auf diese Gesetzmàßigkeit gestoßen ist.

Hier ist die Stelle: der erste Kommentar zu https://oeis.org/A035137 lautet
#
# Apparently, every positive number is equal to the
# sum of at most 3 positive palindromes.
# - Giovanni Resta, May 12 2013
#

Ich habe auch ein wenig rumprogrammiert und dabei folgende Gesetzmàßigkeit gefunden, die vielleicht wirklich potentiell unendlich gültig ist:

Das 11-te Palindrom ist 11,
das 111-te Palindrom ist 1111,
das 1111-te Palindrom ist 111111,
das 11111-te Palindrom ist 11111111,
das 111111-te Palindrom ist 1111111111,
usw.

Für jede Eins mehr links gibt es zwei Einsen mehr rechts.

Die ersten 61 Palindrome sind hier aufgelistet: http://oeis.org/A002113
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111,
121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202, 212, 222, 232, 242, 252, 262,
272, 282, 292, 303, 313, 323, 333, 343, 353, 363, 373, 383, 393, 404, 414,
424, 434, 444, 454, 464, 474, 484, 494, 505, 515

Das ist nicht gerade viel, reicht aber wenigstens, um das 11-te Palindrom zu sehen.

Bezeichnet man das n-te Palindrom mit Pali(n) und die aus n Einsen aufgebaute
Zahl mit Eins(n), dann lautet die von mir entdeckte Gesetzmàßigkeit:

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Satz PALIEINS

Es gilt Pali(Eins(n+1)) = Eins(2*n) für n = 1,2,3,...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Besonders gefreut hat mich, dass sogar für n=0 der Satz gilt, wenn man Eins(0) = 0
definiert. Denn Pali(Eins(0+1)) = Pali(1) = 0 = Eins(0) = Eins(2*0).

Mit der Funktion Eins(n) werden die n-stelligen "Repunits" erzeugt:
http://oeis.org/A002275

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de
 

Lesen sie die antworten

#1 Robin Koch
30/07/2015 - 17:05 | Warnen spam
Am 30.07.2015 um 12:36 schrieb Rainer Rosenthal:

Ich habe auch ein wenig rumprogrammiert und dabei folgende
Gesetzmàßigkeit gefunden, die vielleicht wirklich potentiell unendlich
gültig ist:

Das 11-te Palindrom ist 11,
das 111-te Palindrom ist 1111,
das 1111-te Palindrom ist 111111,
das 11111-te Palindrom ist 11111111,
das 111111-te Palindrom ist 1111111111,
usw.

Für jede Eins mehr links gibt es zwei Einsen mehr rechts.



Unter zu Zunahme der 0 als Palindromzahl. Ok.

Bezeichnet man das n-te Palindrom mit Pali(n) und die aus n Einsen aufgebaute
Zahl mit Eins(n), dann lautet die von mir entdeckte Gesetzmàßigkeit:

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Satz PALIEINS

Es gilt Pali(Eins(n+1)) = Eins(2*n) für n = 1,2,3,...
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~



Oder anders ausgedrückt:
Im Intervall [0, Eins(2n)] gibt es genau Eins(n+1) Palindromzahlen.

Beweisskizze:

Wir zàhlen die Palindromzahlen von 0 bis EINS(2n) sortiert nach Lànge:

#1:
Es gibt 10 einstellige Palindromzahlen: 0..9

Für n >= 2:

#2n
Es gibt 9*10^(n-1) 2n-stellige Palindromzahlen:

Konstruktion:
Man nehme eine n-stellige Zahl q mit 10^(n-1) <= q <= 10^n-1 und spiegle
*nach* der letzten Stelle.

Berechnung der Anzahl (nach dem Prinzip max-min+1):

10^n-1 - 10^(n-1) + 1
= 10^n - 10^(n-1)
= 10*10^(n-1) - 10^(n-1)
= 9*10^(n-1)


#2n-1
Es gibt 9*10^(n-1) (2n-1)-stellige Palindromzahlen:

Konstruktion:
Man nehme eine n-stellige Zahl q mit 10^(n-1) <= q <= 10^n-1 und spiegle
*an* der letzten Stelle.

Berechnung der Anzahl (nach dem Prinzip max-min+1):

10^n-1 - 10^(n-1) + 1
= 10^n - 10^(n-1)
= 10*10^(n-1) - 10^(n-1)
= 9*10^(n-1)


Mit den obigen Abschàtzungen können wir also die Zahl der
Palindromzahlen 0 <= p <= 10^2n zàhlen:

p(10^2n) = 10 + 9 + 2*sum(9*10^(k-1), k = 2..n)
= 1 + 2*9 + 2*sum(9*10^(k-1), k = 2..n)
= 1 + 2 * sum(9*10^(k-1), k = 1..n)
= 1 + 2 * (10^n - 1)
= 2*10^n - 1

(vgl. http://mathworld.wolfram.com/Palind...umber.html für n even.
Dort wird die 0 nicht mitgezàhlt. Dort gibt es auch eine Formel für n
ungerade, aber ich mag ich gerade nicht herleiten. %-))

Zàhlung für 10^2n .. EINS(2n):

Die 2n-stelligen Palindromzahlen müssen mit 1 beginnen (und enden):

1..1
\ /
2n-2 Stellen

Wir müssen also nochmal die (2n-2)-stelligen Palindromzahlen zàhlen, die
kleiner als EINS(2n-2) sind.

Konstruktion:
Man nehme eine (n-1)-stellige Zahl q mit 0 <= q <= EINS(n-1) und spiegle
*nach* der letzten Stelle.

Berechnung:
1 + EINS(n-1)

Für EINS(n) gilt die Formel:

EINS(n) = (10^n-1)/9


RESULTAT:

p(EINS(2n))
p(10^(2n-2)) % Pz von 0 bis 1 00 00 00 ...
+ p(#2n-1) % Pz von 1 00 00 ... bis 10 00 00 ...
+ 1 + EINS(n-1) % Pz von 10 00 00 ... bis 11 11 11 ...

= 2*10^(n-1) - 1
+ 9*10^(n-1)
+ 1 + (10^(n-1)-1)/9

= 11*10^(n-1) + (10^(n-1) - 1)/9
= (99*10^(n-1))/9 + (10^(n-1) - 1)/9
= (100*10^(n-1) - 1)/9
= (10^(n+1) - 1)/9
= EINS(n+1)


Das heißt: Bis zu EINS(2n) einschließlich gibt EINS(n+1) Palindromzahlen.

Daraus folgt die Behauptung.

*puh*

Ok, das ganz war doch komplizierter aufzuschreiben als gedacht.
Ich hoffe ihr konntet folgen und wahrscheinlich hat in der Zeit in der
ich daran rumgedoktort habe jemand anderes eine andere oder die gleiche
Lösung kürzer und kompakter gepostet, aber sei's drum %-) Der Weg ist
das Ziel.

Robin Koch

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