Pantoffeltierchen widerlegen die Mengenlehre

11/07/2016 - 18:41 von WM | Report spam
Die transfinite Mengenlehre basiert auf der Vollstàndigkeit von Bijektionen zwischen unendlichen Mengen, also auf der Ausschöpfbarkeit von unendlichen Mengen. Alle natürlichen Zahlen nummerieren alle Brüche. Im Grenzfalle bleibt kein Element in den beiden Mengen übrig. Daher ist der Grenzwert der Mengenfolge der Singletons der natürlichen Zahlen die leere Menge:

(1), (2), (3), ... --> { } (*)

Für eine formale Darstellung s. https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf
p. 50, Limits of sequences of sets.

Für mit Mengenfolgen wie

(1), (2, 3), (4, 5, 6), ... --> { }

bedeutet dies eine Nichtübereinstimmung zwischen dem Limes der Mengenfolge und dem Limes der Kardinalzahlen, denn dem Mengenlimes { } steht der Limes der Kardinalzahlen aleph_0 gegenüber. Diese Nichtübereinstimmung wird im Allgemeinen ohne Bedenken hingenommen.

Ein Problem ergibt sich allerdings aus der Unàrdarstellung von Folge (*).

(I), (II), (III), ...

Bei Interpretation des Klammerinhaltes als natürliche Zahlen ist der Limes der Mengenfolge weiterhin die leere Menge. Bei individueller Interpretation der Einheiten, zum Beispiel als Pantoffeltierchen (Paramecium), die sich hin und wieder verdoppeln, kann der Limes dagegen nicht leer sein, denn die Einheiten können indiziert werden und die Folge der Indexmengen besitzt den Grenzwert

(1), (1, 2), (1, 2, 3), ... --> |N

was einen leeren Limes ausschließt. Zukünftig muss also nicht nur zwischen dem Limes der Mengenfolge und dem Limes der Kardinalzahlenfolge unterschieden werden, sondern das Ergebnis hàngt außerdem von der Darstellung der Folgenglieder ab. Dieser Aspekt dürfte kaum noch als Mathematik interpretierbar sein.

Gruß, WM
 

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#1 qdl
11/07/2016 - 20:50 | Warnen spam
Soso, das mit den Bàumen war wohl nichts. Nun solen es die
Pantoffeltierchen richten. Vermutlich komm hier aber nix Neues.
Ähnlichen Fehler hat er bestimmt schon mal gemacht.

WM wrote:

Die transfinite Mengenlehre basiert auf der Vollstàndigkeit von
Bijektionen zwischen unendlichen Mengen, also auf der Ausschöpfbarkeit von
unendlichen Mengen. Alle natürlichen Zahlen nummerieren alle Brüche.



Das tun sie nur, wenn man es richtig macht. Wie man sich bei so einer
einfachen Aufgabe ins Knie schießen kann, hat uns Mückenheim schon
mehrfach vorgeführt. er war dann immer stolz, uns gezeigt zu haben, wie
man nicht nummerieren sollte. Wenn man einfach angibt, wie die
Nummerierung denn konkret aussieht. Aber so etwas wird's wieder nicht
geben. Der Bestseller-Autor versteht sich besser auf
Wischiwaschi-Andeutungen.

Im
Grenzfalle



Hàh? Wo kommt der jetzt her? Was soll das für ein Grenzfall sein? Hat er
irgendwelche Folgen angegeben? Unklar.

bleibt kein Element in den beiden Mengen übrig.



Was auch immer "übrig bleiben" bedeuten soll?

Daher ist der
Grenzwert der Mengenfolge der Singletons der natürlichen Zahlen die leere
Menge:

(1), (2), (3), ... --> { } (*)



Über die runden Klammern als Mengenklammern wollen wir uns aml nicht
muckieren. Aber inwiefern macht das "daher" da einen Sinn. Soll das aus
dem vorher nicht erklàrten Folgen?

Für mit Mengenfolgen wie

(1), (2, 3), (4, 5, 6), ... --> { }

bedeutet dies eine Nichtübereinstimmung zwischen dem Limes der Mengenfolge
und dem Limes der Kardinalzahlen,



... die es allein schon deshalb nicht geben kann, weil der Limes der
Mengenfolge eine Menge ist, der Limes der Kardinalzahlen aber eine
Kardinalzahl. Na, so was aber auch.

denn dem Mengenlimes { } steht der Limes
der Kardinalzahlen aleph_0 gegenüber. Diese Nichtübereinstimmung wird im
Allgemeinen ohne Bedenken hingenommen.



Ja, wenn man weiß, dass man Limites nicht so einfach vertauschen darf,
kann man sich beides ausrechnen und hat kein Problem. Was Mückenheim
hier als "Nichtübereinstimmung" bezeichnet, ist ein relativ harmloses
Phànomen, das bei grenzwertbildung auftritt. Dass er das anders haben
möchte, hat keinen Einfluss auf die Mathematik. Ja, das ist übrigens
einer der Fehler, den er seit Jahren macht.

Ein Problem ergibt sich allerdings aus der Unàrdarstellung von Folge (*).

(I), (II), (III), ...

Bei Interpretation des Klammerinhaltes als natürliche Zahlen ist der Limes
der Mengenfolge weiterhin die leere Menge.

Bei individueller
Interpretation der Einheiten, zum Beispiel als Pantoffeltierchen
(Paramecium),



... handelt es sich also um andere Mengen. Also hat man auch eine andere
Folge, also erhàlt man auch einen anderen Grenzwert. Damit wollen die
Pantoffeltierchen etwas widerlegen?

Den Fehler, bei unterschiedlichen Interpretationen trotzdem das gleiche
Ergebnis zu erwarten, hat Mückenheim übrigens auch schon mal gemacht.
Auch hier nichts neues.

die sich hin und wieder verdoppeln,



Ja, so sieht's aus, von zwei zu drei Pantoffeltierchen ist's unebdingt
eine Verdoppelung.

kann der Limes dagegen
nicht leer sein, denn die Einheiten können indiziert werden und die
Folge der Indexmengen besitzt den Grenzwert

(1), (1, 2), (1, 2, 3), ... --> |N

was einen leeren Limes ausschließt. Zukünftig muss also nicht nur zwischen
dem Limes der Mengenfolge und dem Limes der Kardinalzahlenfolge
unterschieden werden,



... was im Übrigen kein Problem ist ...

sondern das Ergebnis hàngt außerdem von der
Darstellung der Folgenglieder ab.



Nein, von der _Darstellung_ hàngt es eben nicht ab. Wenn man allerdings
die gleiche Darstellung als Schreibweise für verschiedene Dinge
interpretiert, bekommt man auch verschiedene Ergebnisse. Schlechter Stil
schreibt halt schlechte Texte.

Dieser Aspekt dürfte kaum noch als
Mathematik interpretierbar sein.



Naja, aus mathematischr Sicht, ist das ja alles eher langweilig.
Mückenheims Taschenspielertrick, Interpretationen zu àndern, führt nicht
wirklich zu größerer Verwirrung, wie er das wohl gerne hàtte. Es
empfiehlt sich aber trotzdem, so etwas in mathematischen Texten zu
unterlassen. Da gehören sich eindeutige Schreibweisen. Diesen Hinweis
kann Mückenheim getrost ignorieren, er wird ohnehin nie einen
mathematischen Text verfassen.

Fassen wr zusammen:

Naja.

hs

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