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Parabel äquidistante Teilstücke

27/08/2008 - 13:16 von Chris Forone | Report spam
Hallo Gruppe,

ist es möglich, eine Parabel (Wurfparabel) in àquidistante Teile zu
zerlegen? Gegeben sind 2 Punkte (x/y) auf der Parabel und gesucht wird
der Punkt (x/y), der das Parabelstück halbiert. Durch Wiederholen sollte
es dann eigentlich möglich sein, die Parabel in gleiche Teilstücke zu
zerlegen.

Danke & freundlichen Gruß, Chris
 

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#1 Hero Wanders
27/08/2008 - 23:04 | Warnen spam
Hallo,

ist es möglich, eine [Teil]Parabel (Wurfparabel) in [gleichlange] Teile zu
zerlegen? Gegeben sind 2 Punkte (x/y) auf der Parabel und gesucht wird
der Punkt (x/y), der das Parabelstück halbiert.



Beschreibt f die Parabel und sind die Punkte (x_1,f(x_1)), (x_2,f(x_2))
(o.B.d.A. x_1 < x_2) gegeben, so ist man auf der Suche nach x_0,
derjenigen Stelle für die gilt:

int_{x=x_1..x_0} sqrt(1+f'(x)^2) dx
= 1/2 * int_{x=x_1..x_2} sqrt(1+f'(x)^2) dx

Eine leichte Rechnung zeigt, dass dann auch

int_{x=x_0..x_2} sqrt(1+f'(x)^2) dx
= 1/2 * int_{x=x_1..x_2} sqrt(1+f'(x)^2) dx

gilt.

Allgemein ist für eine Funktion f die Zahl

int_{x=a..b} sqrt(1+f'(x)^2) dx

die (bzgl. der euklidischen Metrk gemessene) Lànge des Funktionsgraphen
von f für Werte x zwischen a und b.

Zunàchst einmal kann man die Parabel (zusammen mit den gegebenen
Punkten) so verschieben, dass deren Scheitelpunkt im Ursprung liegt, was
die Integration vereinfacht. Anschließend müsste man nach x_0 auflösen.
Dabei erhalte ich jedoch Ausdrücke in denen die gesuchte Variable sowohl
innerhalb des Areasinus Hyperbolicus bzw. der Logarithmus als auch
außerhalb vorkommen. Eine Lösung davon sehe ich nicht direkt.



Vielleicht kommt man mit einer 2-dimensionalen Parametrisierung besser
weiter. Also eine Funktion der Form g : t -> (x(t), y(t)), z.B. mit
g(0) = (x_1, f(x_1)) und g(1) = (x_2, f(x_2)).
Dann müsstest du nur g(1/2) berechnen. Andere Aufteilungen lassen sich
damit auch leicht erreichen.
Diese Parametrisierung sieht optimalerweise so aus, dass sie mit
konstanter Geschwindigkeit den Graphen abfàhrt, also ||g'|| = const.
Da aber y(t)=x^(t)^2 ist:
x'(t)^2+y'(t)^2 = x'(t)^2 + 4x(t)^2x'(t)^2 = (1+4x(t)^2)x'(t)^2

Dies ist konstant = 1 falls gilt (ohne (t)):
x'^2 = 1/(1+4x^2)

Wenn man diese Differentialgleichung lösen möchte, tauchen aber wieder
die altbekannten Ausdrücke auf...
(Konkret: t-1/2*x(t)*(1+4*x(t)^2)^(1/2)-1/4*arcsinh(2*x(t))+C = 0)


Vielleicht gibt es ja eine eleganter (elementare) Lösung!?

Eventuell ist das Problem ja auch schon bekannt und als nicht-analytisch
lösbar eingestuft?


Durch Wiederholen sollte
es dann eigentlich möglich sein, die Parabel in gleiche Teilstücke zu
zerlegen.



Ja, jedoch nur in 2^n viele. Beliebige Aufteilungen lassen sich so nicht
erreichen.


Gruß
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