Parabelproblem

03/12/2007 - 05:08 von Amy | Report spam
Guten Morgen =),

ich habe die halbe Nacht an einer Matheaufgabe gehangen und
bin auch nach stundemlangen Grübeln nicht sonderlich weit gekommen.

Habe erst dieses Semester mit dem Studieren angefangen und
Mathe quàlt besonders. Ich nehme auch an einer Art Wiederholerkurs
teil, um die schlimmsten Lücken bei den Grundlagen zu schließen :-(

Wir sind momentan bei Kurven, Ableiten und sowas angelangt.
Das hier schüttelte unser Seminarleiter als Hausarbeit aus der Tasche:

f(x) = x^2

Untersuchen Sie ein paar von Tangenten, welches orthogonal
aufeinandersteht.


1.) Wieviele Paare von solchen Tangenten existieren?
Also: Orthogonal habe ich nachgeschlagen, es heißt senkrecht.
Die linearen Funktionen stehen also senkrecht aufeinander.

Ich habe lange versucht, eine Skizze zu machen. Die sagt mir
eigentlich,
daß es unendliche viele solcher Tangentenpaare gibt, oder? Denn ich
kann
ja auf der einen Seite der Parabel immer weiter zum Scheitelpunkt
rücken,
und die andere Tangente rutscht mit ihrem Berührungspunkt immer weiter
nach oben oder? Was passiert dann eigentlich im Scheitelpunkt? :-(

2.) Kann jeder Punkt des Grafen Berührungspunkt für eine der beiden
Tangenten? Ich denk ja oder? Sind doch reelle Zahlen bei x und y.

3.) Geben Sie Gleichungen eines Tangentenpaares an.
Hier weiß ich gar nicht, wie ich rangehen muß! Ich kann mir doch nicht
einfach irgendwelche Punkte denken, und probieren, ob nun ein rechter
Winkel entsteht. Meine Probleme: Wie gehe ich rechnerisch an sowas
ran?
Wie hàndle ich überhaupt Winkel? Gibt es Formeln für Winkel zwischen
Geraden? Ich hatte sowas nur in Analytischer Geometrie, doch hier sind
doch gar keine Vektoren vorhanden :-(

4.) Berechnen Sie jetzt den Schnittpunkt des Paares. Welche
Besonderheiten
tauchen auf?
Hmm, wenn ich die Geradengleichungen hàtte, könnte ich ja gleichsetzen
und
x berechnen, dann in eine Ausgangsgleichung einsetzen und y kriegen,
oder?
Oder ist das falsch? Aber ohne Gleichungen geht das ja nicht :-( ...

5.) Gegeben sind Ihnen die x-Koordinate x_a des Berührungspunktes
einer
der beiden Tangenten eines Paares. Bestimmen Sie die x-Koordinate x_b
des Berührungspunktes der anderen Tangente.

Versteh ich gar nicht. Sind mit Berührungspunkt jetzt wieder die
Punkte gemeint,
wo die Tangenten an x^2 anliegen? Oder ist jetzt der Schnittpunkt von
4. gemeint?
Den hàtte ich doch aber gerade schon berechnet, wenn ich das könnte
:-( ...

6.) Beweisen Sie: Die Strecke zwischen den Berührungspunkten schneidet
die y-Achse in einem fixen Punkt.

Was ist ein fixer Punkt? Den Fachausdruck kenn ich nicht :-( ...
Und welche Strecke? Gibt es Strecken nicht nur in Geometrie so mit
Strich
obendrüber, was man spàter einfach als Vektor genommen hat?

Und wie beweißt man sowas? Ich kenne vollstàndige Induktion zum
Beweisen,
das bring ich aber nicht mehr :( ...


Alles in allem eine beschissene Nacht, überhaupt nicht mit der Aufgabe
klargekommen... Kann mir jemand helfen?

Ciao
 

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#1 Roland Franzius
03/12/2007 - 07:07 | Warnen spam
Amy schrieb:
Guten Morgen =),

ich habe die halbe Nacht an einer Matheaufgabe gehangen und
bin auch nach stundemlangen Grübeln nicht sonderlich weit gekommen.

Habe erst dieses Semester mit dem Studieren angefangen und
Mathe quàlt besonders. Ich nehme auch an einer Art Wiederholerkurs
teil, um die schlimmsten Lücken bei den Grundlagen zu schließen :-(

Wir sind momentan bei Kurven, Ableiten und sowas angelangt.
Das hier schüttelte unser Seminarleiter als Hausarbeit aus der Tasche:

f(x) = x^2

Untersuchen Sie ein paar von Tangenten, welches orthogonal
aufeinandersteht.


1.) Wieviele Paare von solchen Tangenten existieren?
Also: Orthogonal habe ich nachgeschlagen, es heißt senkrecht.
Die linearen Funktionen stehen also senkrecht aufeinander.

Ich habe lange versucht, eine Skizze zu machen. Die sagt mir
eigentlich,
daß es unendliche viele solcher Tangentenpaare gibt, oder? Denn ich
kann
ja auf der einen Seite der Parabel immer weiter zum Scheitelpunkt
rücken,
und die andere Tangente rutscht mit ihrem Berührungspunkt immer weiter
nach oben oder? Was passiert dann eigentlich im Scheitelpunkt? :-(




Jede Tangente am rechten Zweig hat eine Steigung 0<s<pi/2, am linken
-pi/2 < t < 0. Also gibt es zu jeder Tangente rechts eine links.
Nullpunkt ausgenommen

2.) Kann jeder Punkt des Grafen Berührungspunkt für eine der beiden
Tangenten? Ich denk ja oder? Sind doch reelle Zahlen bei x und y.

3.) Geben Sie Gleichungen eines Tangentenpaares an.
Hier weiß ich gar nicht, wie ich rangehen muß! Ich kann mir doch nicht
einfach irgendwelche Punkte denken, und probieren, ob nun ein rechter
Winkel entsteht. Meine Probleme: Wie gehe ich rechnerisch an sowas
ran?
Wie hàndle ich überhaupt Winkel? Gibt es Formeln für Winkel zwischen
Geraden? Ich hatte sowas nur in Analytischer Geometrie, doch hier sind
doch gar keine Vektoren vorhanden :-(




Die Gleichung einer Tangente ist immer

Vektor des Berührungspunktes (X,Y) + Zeitparameter * Geschwindigkeit in
(X,Y):

(x(t),y(t)) = (X,Y) + t(Vx,Vy) = (X,Y)t d/ds (x(s),y(s))
für x(s)=X und y(s)=Y und Y=X^2

Zwei Geraden stehen senkrecht auf einander, wenn das Skalarprodukt ihrer
Richtungsvektoren 0 ist:

(Vx,Vy).(Wx,Wy)= Vx Wx + Vy Wy = 0

Das erkennt man leicht, wenn man realisiert, dass Vertauschung der
Komponenten mit einem Vorzeichenwechsel (Vx,Vy)->(-Vy,Vx) eine Drehung
um +-pi/2 bewirkt.

4.) Berechnen Sie jetzt den Schnittpunkt des Paares. Welche
Besonderheiten
tauchen auf?
Hmm, wenn ich die Geradengleichungen hàtte, könnte ich ja gleichsetzen
und
x berechnen, dann in eine Ausgangsgleichung einsetzen und y kriegen,
oder?
Oder ist das falsch? Aber ohne Gleichungen geht das ja nicht :-( ...

5.) Gegeben sind Ihnen die x-Koordinate x_a des Berührungspunktes
einer
der beiden Tangenten eines Paares. Bestimmen Sie die x-Koordinate x_b
des Berührungspunktes der anderen Tangente.

Versteh ich gar nicht. Sind mit Berührungspunkt jetzt wieder die
Punkte gemeint,
wo die Tangenten an x^2 anliegen? Oder ist jetzt der Schnittpunkt von
4. gemeint?



Nein, ersteres.

Den hàtte ich doch aber gerade schon berechnet, wenn ich das könnte
:-( ...

6.) Beweisen Sie: Die Strecke zwischen den Berührungspunkten schneidet
die y-Achse in einem fixen Punkt.

Was ist ein fixer Punkt? Den Fachausdruck kenn ich nicht :-( ...
Und welche Strecke? Gibt es Strecken nicht nur in Geometrie so mit
Strich
obendrüber, was man spàter einfach als Vektor genommen hat?




Du bildest die Greadengleichung durch die beiden Berührüunkte und löst
dann bei x=0 nach y auf.


Rolanbd Franzius

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