Parameter für maximale Wahrscheinlichkeit

22/06/2012 - 08:34 von Benno Hartwig | Report spam
Wie könnte eurer Meinung nach eigentlich ein sinnvolles
Vorgehen sein für folgendes Problem:

P: [0,100] -> [0,1]
P sei also eine Funktion, die einem reellen Parameterwert
(hier z.B. zwischen 0 und 100) eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.
Diese Funktion ist mir unbekannt, ich unterstelle aber mal,
dass sie irgendwo _ein_ schönes Maximum hat.
(der Funktionsgraf sieht also einem Hügel àhnlich.
Vielleicht sollte man zunàchst auch ein Parabelstück annehmen)
Ich weiß aber insb. nicht, bei welchem Parameterwert dieses
Maximum liegt. Und genau dieser Parameterwert interessiert
mich nun.

Und nun kann ich wiederholt für von mir gewàhlte
Parameterwerte das Experiment machen, und erhalte
jeweils ein Ergebnis ('Erfolg' oder 'nicht Erfolg')
und gewinne so allmàhlich einen Eindruck von der
Funktion P und der Lage des Maximums.

Nur wie sollte ich, immer in Abhàngigkeit von den
bisherigen Ergebnissen, den Parameterwert des nàchsten Versuches
setzen, wenn ich z.B. bei vorgegebener Versuche-Anzahl
eine möglichst verlàssliche Schàtzung des Parameterwertes
erreichen will, an dem P ihr Maximum hat?

So was richtig Gutes fàllt mir nicht ein. :-(

Benno
 

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#1 Ralf . K u s m i e r z
22/06/2012 - 17:40 | Warnen spam
X-No-Archive: Yes

begin quoting, Benno Hartwig schrieb:

Wie könnte eurer Meinung nach eigentlich ein sinnvolles
Vorgehen sein für folgendes Problem:

P: [0,100] -> [0,1]
P sei also eine Funktion, die einem reellen Parameterwert
(hier z.B. zwischen 0 und 100) eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.
Diese Funktion ist mir unbekannt, ich unterstelle aber mal,
dass sie irgendwo _ein_ schönes Maximum hat.
(der Funktionsgraf sieht also einem Hügel àhnlich.
Vielleicht sollte man zunàchst auch ein Parabelstück annehmen)
Ich weiß aber insb. nicht, bei welchem Parameterwert dieses
Maximum liegt. Und genau dieser Parameterwert interessiert
mich nun.

Und nun kann ich wiederholt für von mir gewàhlte
Parameterwerte das Experiment machen, und erhalte
jeweils ein Ergebnis ('Erfolg' oder 'nicht Erfolg')
und gewinne so allmàhlich einen Eindruck von der
Funktion P und der Lage des Maximums.

Nur wie sollte ich, immer in Abhàngigkeit von den
bisherigen Ergebnissen, den Parameterwert des nàchsten Versuches
setzen, wenn ich z.B. bei vorgegebener Versuche-Anzahl
eine möglichst verlàssliche Schàtzung des Parameterwertes
erreichen will, an dem P ihr Maximum hat?

So was richtig Gutes fàllt mir nicht ein. :-(



Wo ist denn das Problem? Ich würde als erstes mal einen Haufen
Funktionswerte bestimmen (z. B. für alle ganzzahligen aus [0, 100])
und zur Sicherheit noch für gleich viele oder doppelt so viele
zufàllig gleichverteilte Argumentwerte aus dem Intervall für den Fall,
daß Ganzzahlen irgendwie "etwas Besonders" sind, und die dann mal
plotten. Dann sieht man schon, ob die Annahme überhaupt zutreffen
kann.

Wenn sie richtig ist, dann liegen die drei größten Funktionswerte bei
nebeneinanderliegenden Argumentwerten, und der Wert des mittleren
Arguments ist nicht kleiner als einer der beiden Nachbarwerte.

Falls das zutrifft, berechnest Du die Parabel, die durch die drei
Funktionswerte geht. Die sollte nach unten geöffnet sein. Wenn das
zutrifft, dann ermittelst Du das Argument des Scheitels. Der sollte
innerhalb des Urbilds der Abb. liegen. In dem Fall ersetzt Du den
kleinsten der drei Funktionswerte durch den Punkt, der zu dem
Scheitel-Argument gehört, und machst iterativ weiter, bis Dir Dein
Ergebnis hinreichend genau.

Liegt der Scheitel außerhalb des Intervalls, dann kannst Du mal die
Rànder (0 und 100) testen, und wenn das mit der Parabelmethode nicht
weitergeht, dann funktioniert eine Intervallhalbierung: Immer den
Mittelpunkt zwischen den beiden Argumenten mit den maximalen
Funktionswerten ausprobieren und durch dessen Funktionswert den
kleinsten der beiden anderen ersetzen, und wenn der Funktionswert kein
Maximum ist, also kleiner als die beiden anderen, dann stimmt Deine
Annahme nicht.


Gruß aus Bremen
Ralf
R60: Substantive werden groß geschrieben. Grammatische Schreibweisen:
adressiert Appell asynchron Atmosphàre Autor bißchen Ellipse Emission
gesamt hàltst Immission interessiert korreliert korrigiert Laie
nàmlich offiziell parallel reell Satellit Standard Stegreif voraus

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