Parameteroptimierung bei Zufallsexperimenten

12/10/2007 - 10:12 von Benno Hartwig | Report spam
Bei folgender Problemstellung komme ich nicht weiter,
vielleicht kann mir jemand helfen, 's wàre toll:

Ich habe eine Anzahl Zufallsexperimente X1...Xn,
ich weiß das jedes Xi mit Wahrscheinlichkeit Pi Erfolg hat.
Diese Pi kenne ich aber nicht.
Und ich habe diese Experimente einige Male durchgeführt und
habe so Paare (Ni,Ei) erhalten mit der Bedeutung
"Ni mal wurde der Versuch Xi gemacht, Ei Erfolge traten ein."

Theoretische Überlegungen und auch die Versuche legen nahe:
Für kleine und auch für große i ist Pi recht klein,
für mittlere i ist Pi größer, es gibt wohl ein i mit Pi
ist maximal, ein optimales i. Und dieses i interessiert mich
(letztlich: ich will den Parameter i optimieren)

Wenn ich mir nun eine geschwungene Kurve vorgebe (eine Parabel?
ein Polynom höheren Grades? Etwas ganz anderes? Die Kurve sollte
vermutlich nicht zwangslàufig symmetrisch gewàhlt werden) und die
gescheit in diese Stichprobenergebnisse einpasse, dann müsste ich doch
eigentlich mit dem Maximum dieser Kurve einen recht gescheiten
Schàtzwert für dieses maximale Pi bzw. dieses i erhalten.
Ich denke da irgendwie so an "Summe der Quadrate der Abweichungen".

Nur wie mache ich sowas?
Welche Kurve sollte ich nehmen? Wie optimiere ich sie?
Vermutlich ein Standardthema in der Mathematik, der Optimierung.
Wisst ihr, unter welchem Stichwort ich hier helfende Informationen
finden kann?

Thanx,
Benno

x
x
x x--x
x - x x--
x--x x x
x x
x x
x x
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
iMax

Es sind dabei durchaus 2 unterschiedliche Ausgangssituationen
vorstellbar:
1) die Ni sind recht groß (10 oder 100 oder auch 1000).
Dann sind die einzelnen Schàtzwerte für die Pi recht verlàsslich.
Wenn die Werte es gebieten sollte vielleicht ein Polynom
höheren Grades gewàhlt werden. Nur: wie hoch?
2) die Ni sind recht klein (<10, vielleicht auch nur 1 oder 0).
Wie komme ich dann zu einer sinnvollen Kurve?
 

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#1 Benno Hartwig
12/10/2007 - 13:25 | Warnen spam
Ich habe so Paare (Ni,Ei) erhalten mit der Bedeutung
"Ni mal wurde der Versuch Xi gemacht, Ei Erfolge traten ein."



Zunàchst mal dürfen wir vielleicht davon ausgehen, dass
diese Ni alle gleich groß sind, dass ich also
für jedes i genau N mal den Versuch Xi mache und dabei
Ei Erfolge erreiche.
Das macht es vermutlich leichter. Richtig leicht? Hmmm...

Benno

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