Partialbruchzerlegung im Komplexen

17/12/2015 - 08:49 von Udo | Report spam
Hallo,

die Integration des Ausdrucks 1/(x^2 +1) ist relativ einfach, wenn man die
Substitution u = tan(x) durchführt.
Es ergibt sich dann:
Integral [1/(x^2 +1) dx] = arctan(x) + C.

Wenn ich das Integral über eine Partialbruchzerlegung lösen will, kann ich

ansetzen: (x^2 +1) = (x+i) * (x-i)
und damit: 1/(x^2 +1) = A/ (x+i) + B/(x-i)
woraus folgt: A = i/2 und B = -i/2
und somit

Integral[1/(x^2+1)dx] = i/2*Integral[1/(x+i)dx] - i/2*Integral[1/(x-i)dx]
daraus ergibt sich
Integral [1/(x^2 +1) dx] = i/2 * ln(x+1) - i/2*ln(x-i) * C =>
Integral [1/(x^2 +1) dx] = i/2 * ln[(x+1)/(x-i)] + C

oder mit der Wurzel unter dem Logarithmus geschrieben
Integral [1/(x^2 +1) dx] = i * ln [SQRT( (x+1)/(x-i) )] + C

Ist das soweit korrekt?
Und wie komme ich von hier zum arctan(x)?
Mit der Euler-Formel e^(i*phi) = cos(phi) + i*sin(phi)
bin ich nicht weiter gekommen (oder hab mich verheddert)

Könnte mir jemand weiterhelfen?

Danke und freundliche Grüße
Udo
 

Lesen sie die antworten

#1 Roland Franzius
17/12/2015 - 14:30 | Warnen spam
Am 17.12.2015 um 08:49 schrieb Udo:
Hallo,

die Integration des Ausdrucks 1/(x^2 +1) ist relativ einfach, wenn man die
Substitution u = tan(x) durchführt.
Es ergibt sich dann:
Integral [1/(x^2 +1) dx] = arctan(x) + C.

Wenn ich das Integral über eine Partialbruchzerlegung lösen will, kann ich

ansetzen: (x^2 +1) = (x+i) * (x-i)
und damit: 1/(x^2 +1) = A/ (x+i) + B/(x-i)
woraus folgt: A = i/2 und B = -i/2
und somit

Integral[1/(x^2+1)dx] = i/2*Integral[1/(x+i)dx] - i/2*Integral[1/(x-i)dx]
daraus ergibt sich
Integral [1/(x^2 +1) dx] = i/2 * ln(x+1) - i/2*ln(x-i) * C =>
Integral [1/(x^2 +1) dx] = i/2 * ln[(x+1)/(x-i)] + C

oder mit der Wurzel unter dem Logarithmus geschrieben
Integral [1/(x^2 +1) dx] = i * ln [SQRT( (x+1)/(x-i) )] + C

Ist das soweit korrekt?
Und wie komme ich von hier zum arctan(x)?
Mit der Euler-Formel e^(i*phi) = cos(phi) + i*sin(phi)
bin ich nicht weiter gekommen (oder hab mich verheddert)

Könnte mir jemand weiterhelfen?




Aus der bekannten Formel

t = tan x = 1/i (u-1)/(u+1) mit u = e^(2 i x)

folgt durch Auflösung nach u

i t (u +1) = (u-1) -> u=(i t+1)/(i t-1)
-> x =1/(2 i) ( log(( 1 + i t )/(1-i t))

Das Argument des log liegt für reelles t auf dem Einheitskreis, dessen
log variiert daher nach Konvention im Bereich (-i p, i p ),

Du kannst daher in deiner Formel die falsche 1 auch durch i ersetzen und
die SQRT als Faktor 1/2 vor den log ziehen.

Aber in diesem Bereich nichts ohne Durchblick unternehmen, da
sowohl log als atan unendlich vieldeutig sind.

Im Komplexen sind nur Wegintegrale erlaubt.

Unbestimmte Stammfunktionen machen in der komplexen Ebene oder einem
Teilgebiet nur dann Sinn, wenn der Integrand in einem einfach
zusammenhàngenden Gebiets analytisch ist, sodass das Inregral zwischen
zwei Punkten wegunabhàngig ist.


Roland Franzius

Ähnliche fragen