Peano-Definition der Addition - warum so umstaendlich?

04/01/2008 - 08:44 von Helmut Zeisel | Report spam
Die Definition der Addition ausgehende von den Peano-Axiomen wird
ueblicherweise mit einem Satz kombiniert: Es gibt genau eine Operation
"+" mit

n+1=n' fuer alle n
n+m'=(n+m)' fuer alle n,m

(wobei n' der Nachfolger von n).

Wofuer braucht man den Satz? Wenn ich das richtig verstanden haben,
geht das auf E. Landau zurueck, der im Vorwort zu seinen "Grundlagen
der Analysis" erklaert, man habe ja nicht n+m, sondern n+m' definiert,
daher ist die Kombination mit dem Satz notwendig,.

Aber das liese sich doch auch so loesen: Definition

n+1=n' fuer alle n
n+m=(n+'m)' fuer alle m>1 und fuer alle n

wobei 'm der eindeutig bestimmte Vorgaenger ist Die Eindeutigkeit und
Existenz des Vorgaengers steht bei Landau an der entsprechenden Stelle
bereits zur Verfügung.

Die zweite Version ist meines Erachtens einfacher, da man bei einer
reinen Definition bleibt, die man nicht mit einem Satz mischen muss.
Habe ich da was uebersehen?

Helmut Zeisel
 

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#1 Joachim Mohr
04/01/2008 - 09:22 | Warnen spam
Helmut Zeisel schrieb:
Die Definition der Addition ausgehende von den Peano-Axiomen wird
ueblicherweise mit einem Satz kombiniert: Es gibt genau eine Operation
"+" mit

n+1=n' fuer alle n
n+m'=(n+m)' fuer alle n,m

(wobei n' der Nachfolger von n).

Wofuer braucht man den Satz? Wenn ich das richtig verstanden haben,
geht das auf E. Landau zurueck, der im Vorwort zu seinen "Grundlagen
der Analysis" erklaert, man habe ja nicht n+m, sondern n+m' definiert,
daher ist die Kombination mit dem Satz notwendig,.

Aber das liese sich doch auch so loesen: Definition

n+1=n' fuer alle n
n+m=(n+'m)' fuer alle m>1 und fuer alle n

wobei 'm der eindeutig bestimmte Vorgaenger ist Die Eindeutigkeit und
Existenz des Vorgaengers steht bei Landau an der entsprechenden Stelle
bereits zur Verfügung.

Die zweite Version ist meines Erachtens einfacher, da man bei einer
reinen Definition bleibt, die man nicht mit einem Satz mischen muss.
Habe ich da was uebersehen?

Helmut Zeisel



Das ist identisch. Ein einfacheres Beispiel für eine Rekursion,
die verschieden definiert ist, bei der es aber auf das gleiche
hinauslàuft:

0! = 1
(n+1)! = (n+1)*n! für alle n>=0

oder


0! = 1
n! = n*(n-1)! für alle n>0

MFG Joachim





Joachim Mohr Tübingen
http://www.joachimmohr.de/neu.html

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