periodische Randbedingung

22/11/2007 - 09:55 von reyungoo | Report spam
Hallo,
ich stehe gerade auf dem Schlauch. Bei der Berechnung der
Energieeigenwerte
eines kubischen Potentialtopfes, kann man periodische Randbedingungen
und
nicht period. RB. ansetzen. Mir ist nicht klar, warum man das darf.
Immerhin
kommt man ja dann auch zu verschiedenen Energieeigenwerten. Welches
ist denn
nun die richtige RB. Ich hoffe ihr wisst etwas dazu.
danke

Niko
 

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#1 Roland Franzius
22/11/2007 - 14:44 | Warnen spam
schrieb:
Hallo,
ich stehe gerade auf dem Schlauch. Bei der Berechnung der
Energieeigenwerte
eines kubischen Potentialtopfes, kann man periodische Randbedingungen
und
nicht period. RB. ansetzen. Mir ist nicht klar, warum man das darf.
Immerhin
kommt man ja dann auch zu verschiedenen Energieeigenwerten. Welches
ist denn
nun die richtige RB. Ich hoffe ihr wisst etwas dazu.
danke



Wenn man in einem Schwimmbecken periodische Randbedigungen annimmt,
betrachtet man den ebenen Torus. Der hat keinen Rand, das erleichtert
das Leben.

Die Spektren und Eigenzustànde hàngen natürlich von der Wahl der
Randbedingungen ab. Natürliche Randbedingungen für zb Festkörper sind:
Spannungsfreiheit am Rand für Phononenoperatoren, Teilchenstrom=0 über
den Rand für Elektronen und andere massive Teilchen, elektrisches
Potential=0 für Licht in Kàsten mit leitenden Ràndern.

Interessiert man sich nur für große Volumina ohne Oberflàchenphysik,
nimmt man periodische Randbedingungen und nutzt aus, dass die
Grundzustandsenergie oder sogar alle tiefliegenden Zustànde
uninteressante Beitràge liefern. Die Verzahnung der Spektralordungen der
Operatorfamilien mit verschiedenen Randbedingungen ist hinreichend gut,
um statistische Rechnungen für Volumengrößen unabhàngig von der Wahl der
Randbedingungen zu machen.

Das klassische Argument für die Benutzung der falschen periodischen
Randbedingung ist, dass das Verhàltnis von Oberflàchenenergie zu
Volumenenergie bei konstanter Teilchendichte im R^3 wie L^2/L^3 ~ 1/L
klein wird.

Mann kann also periodische Randbedingungen nehmen, Spektum und Zustànde
bestimmen und dann von Hand die Eigenfunktionen am Rand auf 0 biegen.
Dabei steigt zB die Energie durch die zusàtzliche Krümmung

um hquer^2/m int_Rand (grad psi)^2 dx dF an, und das kann man für große
Volumina vernachlàssigen.


Roland Franzius

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