Permutation einer Sequenz von Zahlpartitionen?

31/08/2010 - 23:00 von Jürgen Will | Report spam
Hallo,

bei einem von mir bearbeiteten Problem treten z. B. folgende Multinome auf:
r=Sum_t[i,j]
(a[0]*b[1])^t[1,0]*(a[1]*b[0])^t[1,1]*(a[0]*b[2])^t[2,0]*(a[1]*b[1])^t[2,1]*(a[2]*b[0])^t[2,2]*(a[0]*b[3])^t[3,0]*(a[1]*b[2])^t[3,1]*(a[2]*b[1])^t[3,2]*(a[3]*b[0])^t[3,0].
Ausklammern und Zusammenfassen gleicher Basen ergibt:
r=Sum_t[i,j]
a[0]^(t[1,0]+t[2,0]+t[3,0])*a[1]^(t[1,1]+t[2,1]+t[3,1])*a[2]^(t[2,2]+t[3,2])*a[3]^(t[3,3])*b[0]^(t[1,1]+t[2,2]+t[3,3])*b[1]^(t[1,0]+t[2,1]+t[3,2])*b[2]^(t[2,0]+t[3,1])*b[3]^(t[3,0]).
Zusammenfassen aller Glieder mit gleichen Basen und gleichen Exponenten
ergibt Multinom-Glieder mit folgender Struktur:
z=a[0]^f[0]*a[1]^f[1]*a[2]^f[2]*a[3]^f[3]*b[0]^g[0]*b[1]^g[1]*b[2]^g[2]*b[3]^g[3].
Die Exponenten (f[i], g[i]; i=0, 1, 2, 3) entstehen aus den t[i,j]; die f[i]
und g[i] sind gegeben, die t[i,j] gesucht.
Es ergibt sich ein Lineares Gleichungssystem, das mindestens eine Lösung
hat.
Ich will nun aber nicht jedesmal das Lineare Gleichungssystem selbst lösen,
sondern möchte die Lösungen durch einen sehr viel einfacheren Algorithmus,
idealerweise als einfache Rekursionsgleichung, Formel oder Kombinatorischen
Ausdruck, die als mathematische bzw. kombinatorische Objekte weiter
untersucht werden können, darstellen. Ich suche die mathematische bzw.
kombinatorische Bedeutung der Zahlen oder Zahlensequenzen, die die Lösung
bilden.

Mir ist ein kombinatorischer Ansatz für das Problem eingefallen:
Die Exponenten in den Multinom-Gliedern in r stellen Zahlpartitionen der
Exponenten im Multinom-Glied z dar. Ich schreibe die Sequenz der Exponenten
der a[i] als Permutation auf, und ebenso die Sequenz der Exponenten der
b[j]:
f[0] f[1] f[2]
f[3]
1 2 3 4 5 6 7 8
9
t[1,0] t[2,0] t[3,0] t[1,1] t[2,1] t[3,1] t[2,2] t[3,2] t[3,3]

t[1,1] t[2,2] t[3,3] t[1,0] t[2,1] t[3,2] t[2,0] t[3,1] t[3,0]
1 2 3 4 5 6 7 8
9
g[0] g[1] g[2]
g[3]

Die Sequenz der Exponenten der b[i] ist die Permutation
(1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 7 9 1 5 8 2 6 3).
Sie hat die Zyklenstruktur (1,4)(2,7)(3,9)(5)(6,8).
Gesucht sind also alle Sequenzen der Permutationen/Variationen der
Partitionen von f[0], f[1], f[2], f[3], die durch die beschriebene
Permutation in eine Sequenz der Permutationen/Variationen der Partitionen
von g[0], g[1], g[2], g[3] überführt wird.
Meine Fragen:
Wie kann bei gegebener Sequenz t[1,0] ... t[3,3] auf e f f e k t i v e m
Weg entschieden werden, ob durch die beschriebene Permutation eine Sequenz
in Partitionen von g[0], g[1], g[2], g[3] erzeugt wird?
Ich möchte natürlich nicht alle Partitionen-Sequenzen durchprobieren. Gibt
es irgendwelche Strukturmerkmale der Sequenzen, die man prüfen kann? Gibt es
vielleicht sogar einen formelmàßigen Zusammenhang?
Wie können die relevanten Permutationen/Variationen der Partitionen gefunden
werden, ohne alle durchzuprobieren?
 

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#1 Jutta Gut
01/09/2010 - 09:32 | Warnen spam
"Jürgen Will" schrieb

bei einem von mir bearbeiteten Problem treten z. B. folgende Multinome
auf:
r=Sum_t[i,j]
(a[0]*b[1])^t[1,0]*(a[1]*b[0])^t[1,1]*(a[0]*b[2])^t[2,0]*(a[1]*b[1])^t[2,1]*(a[2]*b[0])^t[2,2]*(a[0]*b[3])^t[3,0]*(a[1]*b[2])^t[3,1]*(a[2]*b[1])^t[3,2]*(a[3]*b[0])^t[3,0].



Ich kann zum Problem selbst noch nichts sagen, aber ich finde deine
Indizierung der t ziemlich unübersichtlich. Wàre es so nicht einfacher:
(a[0]*b[1])^t[0,1]*(a[1]*b[0])^t[1,0]*(a[0]*b[2])^t[0,2]*(a[1]*b[1])^t[1,1]*(a[2]*b[0])^t[2,0]*(a[0]*b[3])^t[0,3]*(a[1]*b[2])^t[1,2]*(a[2]*b[1])^t[2,1]*(a[3]*b[0])^t[3,0],
also so, dass die Indizes von t mit denen von a und b übereinstimmen?

Ist r konstant? Das wàre dann eventuell die Gleichung, die für eine
eindeutige Lösung noch gefehlt hat.

Ich glaube, dass dein Ansatz mit den Partitionen viel zu kompliziert ist.

Grüße
Jutta

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