Physik-Haupt-Diplompr

14/07/2011 - 12:18 von Imperatore | Report spam
Wenn der Prüfer fragt : " Zeigen Sie daß cos (a) - sin (a+b) für
b > Pi/2 gegen 0 geht ! ",
dann darf ich nicht durchfallen !
Wer kann mir helfen ?
Ich kapier' einfach nicht wieso eine Menge bei einem Hàufungspunkt
offen sein soll.

Konvergenzkriterien
=Bei der oben angegebenen Definition der Konvergenz wird der Grenzwert
in der Definition verwendet. Der Grenzwert muss also bekannt sein oder
zumindest vermutet werden, damit mit dieser Definition die Konvergenz
der Folge nachgewiesen werden kann. Es gibt allerdings auch Kriterien,
mit denen die Konvergenz einer Folge nachgewiesen werden kann, ohne
dass der Grenzwert bekannt ist.


Erstes Hauptkriterium
Das erste Hauptkriterium[1] besagt, dass eine monoton wachsende und
nach oben beschrànkte Folge stets konvergent ist, wobei der Grenzwert
kleiner gleich der oberen Schranke ist. Formal also


Ebenso konvergiert eine monoton fallende und nach unten beschrànkte
Folge. Zu beachten ist, dass der Grenzwert auch dann genau gleich der
Schranke sein kann, wenn jedes Folgenglied davon verschieden ist.
Beispielsweise ist die Folge monoton fallend und es gilt ; der
Grenzwert ist gleich 0 und damit genau gleich der Schranke.

In der Praxis wird dieses Kriterium oft auch in der Form angewendet,
dass man beispielsweise zu einer monoton wachsenden Folge eine
monoton fallende Folge findet, die für alle erfüllt. Dann
konvergieren sowohl als auch und es gilt . Beispielsweise kann man
für die zur Definition der Eulerschen Zahl verwendeten Folge


zeigen, dass sie monoton wachsend ist und dass die Folge


monoton fallend ist und gilt. Beide Folgen konvergieren somit; die
Existenz eines Grenzwerts ist damit bewiesen, ohne dass der Grenzwert
bekannt sein muss.

Gilt (wie in diesem Beispiel) zusàtzlich, dass eine Nullfolge bildet,
so liegt eine Intervallschachtelung vor und es gilt

.


Zweites Hauptkriterium
Das zweite Hauptkriterium[2] beruht auf dem Begriff der Cauchy-Folge:
Eine Folge heißt Cauchy-Folge, wenn gilt:

.
Das zweite Hauptkriterium besagt nun, dass eine Folge in den reellen
Zahlen genau dann konvergiert, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Dieses
Kriterium spielt insbesondere bei der Konstruktion der reellen Zahlen
aus den rationalen Zahlen und bei der Erweiterung des
Grenzwertbegriffs auf metrische Ràume eine wichtige Rolle.



Bestimmung von Grenzwerten
Ist die Konvergenz einer Folge nachgewiesen làsst sich der Grenzwert
in vielen Fàllen nàherungsweise bestimmen, indem in die Folge ein
großes n eingesetzt wird und der Rest abgeschàtzt wird. Beispielsweise
ergibt sich für den Grenzwert wegen der Abschàtzung für n = 1000 die
Abschàtzung

Es gibt jedoch kein allgemeines Verfahren zur exakten Bestimmung von
Grenzwerten. In vielen Fàllen làsst sich die Regel von L’Hospital
anwenden. Manchmal ist es nützlich den Grenzwert in ein bestimmtes
Integral umzuwandeln. Oft führen jedoch nur raffinierte Zerlegungen
und Umformungen weiter.




Konvergenz von unendlichen Reihen
Der Grenzwert einer unendlichen Reihe, der auch als Summe der
unendlichen Reihe bezeichnet wird, ist als der Grenzwert der
Partialsummen definiert. Im Prinzip bringt das nichts Neues, für die
Untersuchung der Konvergenz einer unendlichen Reihe stehen aber eine
Fülle zusàtzlicher Konvergenzkriterien zur Verfügung.

[Bearbeiten] Bestimmte Divergenz
In den reellen Zahlen unterscheidet man zwischen bestimmter Divergenz
und unbestimmter Divergenz:

Bestimmte Divergenz gegen (bzw. ) liegt vor, wenn eine Folge xn jede
reelle Zahl irgendwann überschreitet und dann darüber bleibt (bzw.
jede reelle Zahl unterschreitet und dann darunter bleibt). Das heißt,


bzw.

.
Man schreibt dann


bzw.


und sagt, die Folge divergiert bestimmt gegen bzw. gegen . Die Werte
und werden in diesem Zusammenhang oft auch uneigentliche Grenzwerte
genannt. Dass diese Werte ebenfalls als Grenzwert in einem etwas
weiteren Sinne angesehen werden, ist insofern gerechtfertigt, als die
uneigentlichen Grenzwerte in den erweiterten reellen Zahlen , versehen
mit einer passenden Topologie, echte Grenzwerte im Sinne des weiter
unten beschriebenen allgemeinen topologischen Grenzwertbegriffs sind.

Unbestimmte Divergenz liegt vor, wenn die Folge weder konvergiert noch
bestimmt divergiert.





Beispiele
Die Folge (n) der natürlichen Zahlen divergiert bestimmt gegen .
Die Folge (+1,-1,+1,-1,…) divergiert unbestimmt.
Die Folge (1,-2,3,-4,5,-6,…) divergiert unbestimmt.
[Bearbeiten] Grenzwert und Hàufungspunkt
Ein mit dem Grenzwert einer Folge eng verwandter Begriff ist der
Hàufungspunkt oder auch Hàufungswert einer Folge. Die formalen
Definitionen unterscheiden sich lediglich in der Position der
Existenz- bzw. Allquantoren:

Wàhrend der Grenzwert als


definiert ist, gilt für den Hàufungspunkt „nur“

ist Hàufungspunkt von .
Die Definition des Grenzwertes verlangt also, dass in jeder Umgebung
des Grenzwertes ab einem gewissen Index alle Folgenglieder liegen; die
Definition des Hàufungspunktes verlangt lediglich, dass in jeder
Umgebung unendlich viele Folgenglieder liegen.

Analog zu den uneigentlichen Grenzwerten werden gelegentlich die
uneigentlichen Hàufungspunkte definiert:

ist uneigentlicher Hàufungspunkt von ,
ist uneigentlicher Hàufungspunkt von .
Auch die Definition des uneigentlichen Hàufungspunktes unterscheidet
sich von der Definition des uneigentlichen Grenzwertes nur durch die
Position der Existenz- bzw. Allquantoren.

Wenn eine Folge einen eigentlichen (bzw. uneigentlichen) Grenzwert
hat, so ist dieser Grenzwert auch eigentlicher (bzw. uneigentlicher)
Hàufungspunkt. Wàhrend eine Folge aber höchstens einen Grenzwert hat,
kann sie mehrere Hàufungspunkte haben. Für jeden eigentlichen (bzw.
uneigentlichen) Hàufungspunkt gibt es eine Teilfolge, die gegen diesen
Hàufungspunkt konvergiert (bzw. bestimmt divergiert). Enthàlt
umgekehrt eine Folge eine konvergente (bzw. bestimmt divergente)
Teilfolge, so ist der (eigentliche bzw. uneigentliche) Grenzwert
dieser Folge ein (eigentlicher bzw. uneigentlicher) Hàufungspunkt der
Folge.

Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß enthàlt jede beschrànkte reelle
Folge eine konvergente Teilfolge. Ist die Folge nach oben
unbeschrànkt, enthàlt sie eine gegen bestimmt divergente Teilfolge,
ist sie nach unten unbeschrànkt, so enthàlt sie eine gegen bestimmt
divergente Teilfolge. Jede reelle Folge hat somit mindestens einen
eigentlichen oder uneigentlichen Hàufungspunkt. Der größte dieser
Hàufungspunkte wird als Limes superior bezeichnet, der kleinste als
Limes inferior. Eine formale Definition dazu findet sich im Artikel
Limes superior und Limes inferior. Stimmen der Limes superior und der
Limes inferior überein, so ist dieser Wert auch eigentlicher oder
uneigentlicher Grenzwert und die Folge ist konvergent bzw. bestimmt
divergent. Sind Limes superior und der Limes inferior unterschiedlich,
so ist die Folge unbestimmt divergent.


Grenzwert einer rationalen Zahlenfolge
Der Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen wird formal wie der
Grenzwert einer Folge reeller Zahlen definiert:


Wàhrend das bei und keine besondere Einschrànkung ist, wirkt sich
das beim Grenzwert wesentlich aus. So gibt es keine rationale Zahl,
gegen welche die oben angegebene Folge (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,
1.41421, …) der abbrechenden Dezimalbruchentwicklungen von √2
konvergiert. Die Folge ist also in den rationalen Zahlen divergent,
obwohl sie sowohl monoton wachsend und beschrànkt ist, also das erste
Hauptkriterium erfüllt, als auch eine Cauchy-Folge ist, also auch das
zweite Hauptkriterium erfüllt. Die rationalen Zahlen weisen somit
„Lücken“ auf.

Diese „Lücken“ waren bereits Euklid in der Antike bekannt; es gelang
aber erst im 19. Jahrhundert diese „Lücken“ durch die systematische
Einführung der reellen Zahlen zu schließen. Ein hàufig verwendeter Weg
der systematischen Einführung der reellen Zahlen besteht darin, zuerst
Cauchy-Folgen rationaler Zahlen zu betrachten, jene Cauchy-Folgen als
àquivalent zu betrachten, deren Differenzen eine Nullfolge bilden und
darauf aufbauend die reellen Zahlen als eine solche Äquivalenzklasse
zu definieren. In dieser Zahlbereichserweiterung gelten dann das oben
angegebene erste und zweite Hauptkriterium; insbesondere dass nun jede
Cauchy-Folge konvergent ist.

Für die Aussage, ob eine Folge konvergiert, ist es also wichtig zu
wissen, welcher Zahlenbereich betrachtet wird; eine Folge, die in den
reellen Zahlen konvergent ist, kann in den rationalen Zahlen divergent
sein. Wenn nichts anderes dazugesagt wird, werden aber üblicherweise
Grenzwerte über den reellen Zahlen betrachtet, da diese für die
meisten Anwendungen das geeignetere Modell sind.
 

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#1 Peter
14/07/2011 - 13:03 | Warnen spam
On 14 Jul., 12:18, Imperatore wrote:
Wenn der Prüfer fragt : " Zeigen Sie daß cos (a) - sin (a+b)  für
b >  Pi/2 gegen 0 geht ! ",
dann darf ich nicht durchfallen !
Wer kann mir helfen ?
Ich kapier' einfach nicht wieso eine Menge bei einem Hàufungspunkt
offen sein soll.



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Wenn es sich rechnen soll, dann studier Jura, Copy & Paste kannst Du
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