Pi-Spielerei

20/01/2009 - 22:54 von Florian Severin | Report spam
Hallo zusammen,

seit ein paar Tagen stellt sich mir eine Frage zur Dezimaldarstellung von
Pi. Auf die Idee kam ich durch den Vortrag von C. Spannagels Vortrag "Eine
Reise in die Unendlichkeit" (http://www.ph-ludwigsburg.de/wp/
spannagel/presentations/Unendlichkeit/Unendlichkeit.html), in dem
irgendwann auch die Frage erwàhnt wird, ob Pi 10-normal (absolut-normal?)
ist.
Und durch ein wenig ausprobieren mit http://angio.net/pi/piquery entstand
dann die Frage:

Wir führen folgenden Algorithmus durch: 0. Wàhle irgendeine Startzahl a.
1. Suche in der Dezimaldarstellung von Pi nach der Dezimaldarstellung von
a.
2. Wàhle die Zahl der Stelle, an der a auftaucht als neue Startzahl und
beginne wieder bei 1.

Nun stellen sich einige Fragen, was dabei passiert. Ist das Verfahren zum
Beispiel periodisch, d.h. bekommen wir irgendwann wieder unsere Startzahl
a (oder eine andere Zahl, bei der wir vorher schon waren)? Für welche a
gilt das? Wie lang ist die Periode? Oder gibt es Startzahlen, für die es
unendlich weitergeht? Wie groß ist der Erwartungswert der Zahl nach i
Iterationen?

Es gibt einige interessante Fragen dazu, bisher kann ich keine davon
beantworten.

Gibt es vielleicht Arbeiten über dieses Thema, hat sich da schonmal jemand
Gedanken zu gemacht?


liebe Grüße,
Florian
 

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#1 Rainer Rosenthal
21/01/2009 - 00:52 | Warnen spam
Florian Severin schrieb:
Hallo zusammen,

seit ein paar Tagen stellt sich mir eine Frage zur Dezimaldarstellung von
Pi. Auf die Idee kam ich durch den Vortrag von C. Spannagels Vortrag "Eine
Reise in die Unendlichkeit" (http://www.ph-ludwigsburg.de/wp/
spannagel/presentations/Unendlichkeit/Unendlichkeit.html), in dem
irgendwann auch die Frage erwàhnt wird, ob Pi 10-normal (absolut-normal?)
ist.
Und durch ein wenig ausprobieren mit http://angio.net/pi/piquery entstand
dann die Frage:

Wir führen folgenden Algorithmus durch: 0. Wàhle irgendeine Startzahl a.
1. Suche in der Dezimaldarstellung von Pi nach der Dezimaldarstellung von
a.
2. Wàhle die Zahl der Stelle, an der a auftaucht als neue Startzahl und
beginne wieder bei 1.

Nun stellen sich einige Fragen, was dabei passiert. Ist das Verfahren zum
Beispiel periodisch, d.h. bekommen wir irgendwann wieder unsere Startzahl
a (oder eine andere Zahl, bei der wir vorher schon waren)? Für welche a
gilt das? Wie lang ist die Periode? Oder gibt es Startzahlen, für die es
unendlich weitergeht? Wie groß ist der Erwartungswert der Zahl nach i
Iterationen?

Es gibt einige interessante Fragen dazu, bisher kann ich keine davon
beantworten.

Gibt es vielleicht Arbeiten über dieses Thema, hat sich da schonmal jemand
Gedanken zu gemacht?



Nö, vorher noch nicht, aber jetzt. Ich habe mal mit a=1 begonnen und bin
recht bald in eine Schleife geraten.
Weil ich gerne sagen würde, die "1" kommt in "3.1415926..." an Stelle 2,
habe ich mit dem String "31415926..." gearbeitet bzw. gespielt.
Für meine Schleife reicht dieser Anfangsabschnitt der Pi-Darstellung:

String := "31415926535897"

a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 7, a_3 = 14, a_4 = 2.

Es ist also a_4 = a_1 und damit haben wir Periodizitàt a_{i+3} = a_i für
alle i grösser oder gleich 1.
Mit Maple habe ich weitere Wege erkundet:

a = 1: 1,2,7,14,1,...
a = 2: siehe 1
a = 3: 3,1,...
a = 4: 4,3,...
a = 5: 5,5,...
a = 6: 6,8,12,149,2607,? (hier haben 5000 Stellen nicht ausgereicht).
a = 7: siehe 1
a = 8: siehe 6
a = 9: 9,6,...
a = 10: 10,50,32,16,41,3,...
a = 11: 11,95,31,1,...
a = 12: siehe 6
a = 13: 13,111,154,3645,2699,1394,526,613,971,39,44,60,128,149,... siehe 6
a = 14: siehe 1
a = 15: 15,4,...
a = 16: 16,41,3,...
a = 17: 17,96,181,729,771,626,21,94,59,5,...

Ist was für lange Winterabende :-)

Gruss,
Rainer Rosenthal

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