Polstelle der Riemannschen Zeta-Funktion

31/08/2007 - 21:10 von Felix | Report spam
Hallo,

Bekanntlich hat die Riemannsche Zeta-Funktion eine einfache Polstelle
bei s = 1 (mit der ueblichen Konvention, dass Re(s) = sigma und Im(s)
= t).

Die Definition ueber die Reihe

\sum_{n \geq 1} 1/n^s

ist nur Re(s) > 1 gueltig.

Bisher habe ich immer angenommen, dass im Fall s = 1 aus dieser
Definition
die harmonische Reihe wird (die ja divergiert) und wir deshalb eine
Polstelle der Zeta-Funktion bei s = 1 haben. Ferner habe ich somit
angenommen,
dass der Wert fuer Zeta(1) "ein rein relles Unendlich" ist.

Zu meinem Erstaunen ergab die Eingabe von

Plot[Re[Zeta[1 + I*t]], {t, 0, 1}]

in MATHEMATICA eine polstellenfreie Darstellung.

Erst die Eingabe von

Plot[Im[Zeta[1 + I*t]], {t, 0, 1}]

offenbarte einen Pol bei s = 1.

Demnach ist Zeta(1) gar nicht rein reell, sondern hat einen
Imaginaerteil von
"minus Unendlich".

Kann mich jemand mal aufklaeren?

Vielen Dank,
Felix
 

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#1 Christopher Creutzig
02/09/2007 - 12:22 | Warnen spam
Felix wrote:

Die Definition ueber die Reihe

\sum_{n \geq 1} 1/n^s

ist nur Re(s) > 1 gueltig.



Und für andere s wird zeta(s) durch analytische Fortsetzung bestimmt.

Zu meinem Erstaunen ergab die Eingabe von

Plot[Re[Zeta[1 + I*t]], {t, 0, 1}]

in MATHEMATICA eine polstellenfreie Darstellung.



Wie Du oben schon geschrieben hast, ist für diese Argumente die
Definition durch die Summe schon nicht mehr möglich.

Demnach ist Zeta(1) gar nicht rein reell, sondern hat einen
Imaginaerteil von
"minus Unendlich".



Nein, die zeta-Funktion hat bei 1 eine Polstelle der Ordnung 1.
Würdest Du behaupten, 1/x habe bei x=0 einen Imaginàrteil von minus
unendlich?

Lass Dir einmal Im(zeta(x+I*y)) für x=-5..5, y=-5..5 plotten. Dann das
Gleiche für Re(zeta(x+I*y)).

if all this stuff was simple, we'd
probably be doing something else. -- Daniel Lichtblau, s.m.symbolic

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