Pool umranden mit dreieckigem Blechstreifen

03/04/2010 - 13:42 von Rainer Rosenthal | Report spam
Wir haben einen Blechstreifen mit Lànge L und Höhe H, der
aber nicht rechteckig ist sondern dreieckig. Siehe folgende
Figur (bitte Festbreitenschrift einstellen):

:
:
: . |
: . ' |
: . ' | Höhe H
: . ' |
: . + |
: . ' | h |
: '++
:
: Lànge L
:
:_________________________________________________________
:
: Figur 1: Der Blechstreifen, der den Pool einfassen soll
:
: Mit welchem h kann man am meisten Wasser einfüllen?
:

Der Blechstreifen soll als Umrandung eines Pools dienen, der
möglichst viel Wasser fassen soll.
Es dürfte logisch sein, dass man den Streifen kreisförmig
biegt, um den Pool-Inhalt zu maximieren. Fragt sich aber,
wie groß man den Umfang machen soll. Nutzt man die gesamte
Lànge L für den Umfang, dann ist die Randhöhe h=0 und man
kann überhaupt kein Wasser einfüllen. Je nàher man mit der
Nutzhöhe h (siehe Figur 1) an die Höhe H heran rückt, desto
höher ist der Pool-Rand, aber um so kleiner wird die Boden-
Flàche. Das Volumen variiert, und das Maximum ist gesucht.

Ich habe das durchgerechnet und eine erstaunlich einfache
Lösung gefunden. Sie ist derart einfach, dass es schön wàre,
auch eine einfache Begründung zu *sehen* statt nur - wie
ich das getan habe - stur das Volumen zu rechnen und per
Ableitung das Maximum zu finden.

Die Aufgabe ist hübsch, finde ich, und ich habe sie mir
selbst gestellt, angeregt durch den laufenden Wettbewerb
http://www.azspcs.net/Contest/MagicWater
Dort muss man allerdings aus quadratischen Sàulen einen
bzw. mehrere Pool-Rànder basteln. Ausserdem muss man dort
die nicht zum Rand gehörenden Sàulen innerhalb oder
außerhalb des Pools unterbringen. Alles was drinnen liegt,
verringert gemeinerweise den Wasserinhalt. Es wird also
richtig kompliziert - besonders fies erschwert durch die
Zusatzbedingung, dass man mit den Sàulen der Höhen 1 bis n^2
nicht beliebige Pools bauen darf, sondern dass auch noch die
Bedingung für magische Quadrate eingehalten werden muss: alle
Zeilensummen, alle Spaltensummen und die Diagonalensummen
müssen gleich sein.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de
 

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#1 Bastian Erdnüß
03/04/2010 - 15:14 | Warnen spam
Rainer Rosenthal wrote:

Wir haben einen Blechstreifen mit Lànge L und Höhe H, der
aber nicht rechteckig ist sondern dreieckig. Siehe folgende
Figur (bitte Festbreitenschrift einstellen):

:
:
: . |
: . ' |
: . ' | Höhe H
: . ' |
: . + |
: . ' | h |
: '++


| x | y | z |
:
: Lànge L
:
:_________________________________________________________
:
: Figur 1: Der Blechstreifen, der den Pool einfassen soll
:
: Mit welchem h kann man am meisten Wasser einfüllen?
:

Der Blechstreifen soll als Umrandung eines Pools dienen, der
möglichst viel Wasser fassen soll.



Ob du den volumenmàßig größtmöglichen runden, oder quadratischen Pool
baust spielt eigentlich keine Rolle. Beide werden die gleiche Höhe
haben, nur in den runden passt eben ein bisschen mehr rein. Das liegt
glaub ich hauptsàchlich daran, dass die Flàche des Kreises, wie auch die
des Quadrats, proportional mit dem Quadrat deren Umfànge anwachsen.

Anstelle eines runden Pools, baue ich also lieber erst einmal gar einen
quaderförmigen Pool. (Damit kenn ich mich nàmlich besser aus. Runde
Pools kenn ich überhaupt nur aus dem Fernsehen, und quadratische hab
ich sogar noch gar nirgends gesehen -- außer vielleicht mal einem
quadratischen Kneippbecken, aber da hab ich nie nachgemessen.)

Der Pool bekommt die Höhe h, die Breite y/2 und die Lànge z/2. Sein
Volumen V ist dann also

V = h * y/2 * z/2 = H/L*x * y*z/4 = H/(4L) * xyz ~ xyz

proportional zu dem Produkt xyz. Da x+y+z = L beschrànkt ist, weiß ich
aus Erfahrung, das das Volumen maximal wird, wenn x = y = z = L/3 ist.

Ist das schon die Begründung zu deiner Lösung?

Gruß,
Bastian

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