Potentiell unendlich für Dummies

30/06/2015 - 14:35 von WM | Report spam
Zàhlt man von omega bis Null abwàrts, wie z. B. im Beweis von Goodsteins Theorem [R. Goodstein: "On the restricted ordinal theorem", Journal of Symbolic Logic, 9 (1944) 33-41]
http://curvebank.calstatela.edu/goo...dstein.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein%27s_theorem
dann endet der Countdown stets nach einer endlichen Anzahl von Schritten. Doch gibt es keine làngste Folge. Zu jeder Countdown-Folge existiert eine làngere.

Dies ist eine Anwendung des potentiell Unendlichen in der transfiniten Mengenlehre.

Beim Aufwàrtszàhlen ist die Folge allerdings aktual unendlich, d.h. lànger als alle Countdown-Folgen.

Gibt es natürlichen Zahlen, die nur in dieser Richtung vorkommen können?

Gruß, WM
 

Lesen sie die antworten

#1 Rainer Rosenthal
30/06/2015 - 15:39 | Warnen spam
Am 30.06.2015 um 14:35 schrieb WM:

Zàhlt man von omega bis Null abwàrts, wie z. B. im Beweis von Goodsteins Theorem [R. Goodstein: "On the restricted ordinal theorem", Journal of Symbolic Logic, 9 (1944) 33-41]
http://curvebank.calstatela.edu/goo...dstein.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Goodstein%27s_theorem
dann endet der Countdown stets nach einer endlichen Anzahl von Schritten.
Doch gibt es keine làngste Folge. Zu jeder Countdown-Folge existiert eine làngere.



Ich bestreite das sicher nicht, aber das ist auch nicht das Thema.
Thema ist: eine absteigende Folge kann nicht beliebig verlàngert werden.
Aus dem Anfang kann eine *Maximallànge* ermittelt werden.

Beim Aufwàrtszàhlen ist die Folge allerdings aktual unendlich,
d.h. lànger als alle Countdown-Folgen.

Gibt es natürlichen Zahlen, die nur in dieser Richtung vorkommen können?



Was auch immer das nun wieder bedeuten soll, für aufsteigende Folgen
gilt, dass sie beliebig verlàngert werden können. Aus dem Anfang kann
*keine Maximallànge* ermittelt werden.

Beispiele:

w, 4711, 0815, ... ist bestimmt nicht lànger als 1000 Glieder lang, wenn
das Absteige-Kriterium x_i > x_(i+1) erfüllt sein soll.

1, 0815, 4711, ... kann durchaus mehr als 1000 Glieder haben, wenn das
Aufsteige-Kriterium x_i < x_(i+1) erfüllt sein soll. Es làsst sich über-
haupt keine Maximallànge aus dem Start der Folge ableiten.

Diese glasklare Logik sollte Deinem mathematisch-àsthetischen Wesen
zutiefst sympathisch sein. Ich jedenfalls habe tatsàchlich anfangs
nur mit halbem Auge mitgelesen bei den mitunter sehr unappetitlichen
Postings und erst dann verstanden, worum es geht, als ich mir ein
Bild zu machen versucht habe. Siehe "Das Parallelenaxiom im Praxistest".


Hofft
Rainer Rosenthal

Ähnliche fragen