Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen und Exponentiation eindeutige Funktionen?

18/03/2012 - 01:02 von IV | Report spam
Hallo,

bin kein Mathematiker, sondern Naturwissenschaftler.

Seien f und g Komplexe Funktionen in Abhàngigkeit von z, z komplex, und c
eine Komplexe Konstante. Im Reellen hat man für f(z)^c, z. B. für die
Wurzelfunktion, mehrere Funktionen zu betrachten. Lassen sich f(z)^c,
c^g(z), f(z)^g(z) im Reellen und im Komplexen jeweils als eindeutige
Funktionen definieren?

Ich habe bestimmte Formeln, die die oben genannten Funktionen enthalten.
Genügt es, zu schreiben, alle vorkommenden Funktionen sollen wohldefiniert
sein?

Danke!
 

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#1 Christopher Creutzig
18/03/2012 - 01:18 | Warnen spam
On 3/18/12 1:02 AM, IV wrote:

Seien f und g Komplexe Funktionen in Abhàngigkeit von z, z komplex, und c
eine Komplexe Konstante. Im Reellen hat man für f(z)^c, z. B. für die
Wurzelfunktion, mehrere Funktionen zu betrachten. Lassen sich f(z)^c,
c^g(z), f(z)^g(z) im Reellen und im Komplexen jeweils als eindeutige
Funktionen definieren?



Ja. Indem man eine willkürliche Wahl macht. Wenn es für das konkrete
Problem egal ist, welche man nimmt, bietet es sich an, das zu machen,
was in der Situation alle machen: Definiere a^b=exp(b*ln(a)), wobei
ln(a) für a>0 wie gewohnt definiert ist, ansonsten stetig auf jeder
Kurve, die kein a<=0 enthàlt und für a<0 „stetig von oben“ ist. Das
nennt man den „Hauptzweig“.

Er legt seine Meinung sogar so überzeugend dar, dass
man anschließend weiß, dass man eine andere haben möchte.
(Oliver Jennrich)

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