Potenzieren mit ungeradem Exponenten im Reellen immer äquivalente Umformung?

11/10/2015 - 16:04 von IV | Report spam
Hallo,

das Potenzieren einer Gleichung mit einem ganzzahligen Exponenten ist ja
eine n i c h t àquivalente Umformung, das heißt, die Lösungsmenge der
Gleichung kann dadurch veràndert, im Fall des Potenzierens vergrößert,
werden. Ist das Potenzieren einer Gleichung mit einem u n geradzahligen
Exponenten bezüglich der r e e l l e n Lösungen einer Gleichung dagegen
immer eine àquivalente Umformung? Oder kann mir vielleicht jemand eine
Gleichung nennen, deren Potenzieren mit einem ungeradzahligen Exponenten
zusàtzliche reelle Scheinlösungen liefert?

Danke.
 

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#1 Christian Gollwitzer
11/10/2015 - 16:35 | Warnen spam
Am 11.10.15 um 16:04 schrieb IV:
Oder kann mir vielleicht
jemand eine Gleichung nennen, deren Potenzieren mit einem
ungeradzahligen Exponenten zusàtzliche reelle Scheinlösungen liefert?



Die Funktion f(x)=x^n ist für ungerade n>0 eine streng monoton wachsende
Funktion von R->R, stetig und unbeschrànkt und damit eine bijektive
Abbildung. Es gibt zwar bei x=0 eine waagerechte Tangent (für n>=3), die
aber hier kein Extrempunkt ist. Deshalb gilt

x==y <=> f(x) == f(y)

Im Komplexen stimmt es nicht; z.B. ist exp(i*sin(120°))^3 == 1.

Christian

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