Potenzreihen auf dem Rand des Konvergenzkreises

08/01/2008 - 09:30 von Jens Dittrich | Report spam
Guten Tag liebe Gruppe,

eigentlich ist das Thema Potenzreihen ja schon etwas ausgelutscht. Ich
hoffe trotzdem, einige für dieses Problem interessieren zu können.

Zunàchst glaubte ich, einmal gelesen zu haben, dass bei einer
Potenzreihe in einem Randpunkt des Konvergenzkreises ein Pol ist. Dass
mein Glaube falsch ist, zeigt das folgende Beispiel. Allerdings bleibe
ich dabei, dass irgendwas schlimmes auf dem Rand passieren sollte.

(1) P(z) := \sum_{k=1}^\infty z^k/k^2

Mit dem Quotientenkriterium zeigt man schnell Konvergenz für |z| < 1 und
Divergenz für |z| > 1. Außerdem liefert das Majorantenkriterium
Konvergenz für |z| = 1. Nach dem Abelschen Stetigkeitssatz stellt somit
die Funktion

(2) r |-> P(re^{it}), 0 <= r <= 1

für jedes t eine stetige Funktion da. Nun ist die Vermutung, dass
zumindest die Funktion

(3) t |-> P(e^{it}), 0 <= t < 2\pi.

Unstetigkeitsstellen hat, denn sonst wàre P:\overline B -> IC eine
stetige Funktion, was der Vermutung, dass irgendwas schlimmes auf dem
Rand passieren muss, widerspricht.

Nun ist meine Frage, wo kann man genau Aussagen über das Randverhalten
von Potenzreihen nachlesen? Wie zeigt man für (3) die Existenz von
Unstetigkeitsstellen? Ich vermute, dass es einen Zusammenhang zu
Fourierreihen geben muss:

Sei Q = Q(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k eine Potenzreihe mit
Konvergenzradius R > 0 und (reellen) Koeffizienten a_k. Dann ist der
Real- und Imaginàrteil der Funktion

(4) t |-> Q(Re^{it}) = \sum_{k=0}^\infty R^k a_k \cos (kt)

+ i \sum_{k=0}^\infty R^k a_k \sin (kt)

eine formale Fourierreihe.

Das Ganze wird wohl auch mit komplexen Koeffizienten irgendwie
funktionieren.

Viele Grüße,
Jens.
Multiple exclamation marks are a sure sign of a diseased mind. (Terry
Pratchett)
 

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#1 Gottfried Helms
08/01/2008 - 17:17 | Warnen spam
Am 08.01.2008 09:30 schrieb Jens Dittrich:

Nun ist meine Frage, wo kann man genau Aussagen über das Randverhalten
von Potenzreihen nachlesen? Wie zeigt man für (3) die Existenz von
Unstetigkeitsstellen? Ich vermute, dass es einen Zusammenhang zu
Fourierreihen geben muss:



Kennst Du Konrad Knopp "Theorie und Anwendung unendlicher Reihen"?
Dürfte in jeder Uni-Bib vorhanden sein, gibts sogar als PDF online
(Göttinger Digicenter). Speziell auch für Selbststudium gedacht,
mit vielen Beispielrechnungen und Übungsaufgaben.

HTH -

Gottfried

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