Praedikatenlogisches

02/03/2010 - 22:36 von Nicolas v. Wedel | Report spam
Hallo zusammen,

habe nun in den Grundzuegen die Aussagenlogik durchgeackert und auch die
Mengenlogik. Jetzt also Praedikatenlogik. Voneweg: Eigentlich wollte ich
nur ein paar handfeste Essentials haben, um "richtig zu schliessen", also
mathematische Beweise ihrer Struktur nach nachvollziehen zu koennen. Die
Praedikatenlogik geht aber schon an's Eingemachte :-)

Mit anderen Worten - einfach mal in den Raum gestellt:

1. Lassen sich die elementaren Gesetze der Praedikatenlogik, etwa die
Negation von All- bzw. Existenzaussagen, rein aussagen- oder mengenlogisch
beweisen? Wenn ja, wo finde ich literaturmaessig (print/online) Fundstellen?

2. Bin ich ausgerutscht oder ist folgende Ueberlegung einer Negation logisch
wahr:

a) ES GIBT AUTOS, DIE SIND SCHWARZ UND SCHNELL
Existenzaussage (gebundene Variablen in der Konjunktion)

Verneinung von (a):

b) NICHT (ES GIBT AUTOS, DIE SIND SCHWARZ UND SCHNELL)
=> ALLE AUTOS SIND NICHT (SCHWARZ UND SCHNELL)
also Umkehrung des Quantors...
=>
c) ALLE AUTOS SIND NICHT SCHWARZ ODER NICHT SCHNELL
de Morgan

Ist die Verneinung von (a) im Ergebnis (c) logisch richtig?

Danke schon mal fuer Anregungen bei Punkt 1 und 2,

Nico
 

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#1 Franz Fritsche
02/03/2010 - 23:54 | Warnen spam
Am Tue, 2 Mar 2010 22:36:18 +0100 schrieb Nicolas v. Wedel:


Lassen sich die elementaren Gesetze der Praedikatenlogik, etwa die
Negation von All- bzw. Existenzaussagen, rein aussagen[...]logisch
beweisen?



Nein. Die Pràdikatenlogik _umfasst_ die Aussagenlogik; aber nicht
umgekehrt.

Dennoch kann man sich die Negationsformeln für die Quantoren
"quasi-aussagenlogisch" klar machen.

Zu diesem Zweck wollen wir einmal annehmen, das unser "universe of
discourse" aus den drei Objekten

a, b, und c

bestehe. Dann können wir die Aussage

AxFx

auch so auffassen/interpretieren:

Fa & Fb & Fc ,

und

ExFx

kann so aufgefasst/interpretiert werden:

Fa v Fb v Fc .


Demnach wàre also

~AxFx

gleichbedeutend mit

~(Fx & Fb & Fc) ,

und dieses (de Morgan'schen Regel) mit

~Fa v ~Fb v ~Fc ,

und dieses wiederum (nach unserer Interpretation) mit

Ex~Fx .

Eine analoge Betrachtung kann man für ~ExFx == Ax~Fx anstellen.


a) ES GIBT AUTOS, DIE SIND SCHWARZ UND SCHNELL



Abkürzungsverzeichnis:

Fx : x ist ein Auto
Gx : x ist schwarz
Hx : x ist schnell

Also (rein pràdikatenlogisch):

Ex(Fx & (Gx & Hx))

"Es gibt schwarze, schnelle Autos."

Verneinung von (a):

b) NICHT (ES GIBT AUTOS, DIE SIND SCHWARZ UND SCHNELL)



~Ex(Fx & (Gx & Hx))
<=>
Ax~(Fx & (Gx & Hx))
<=>
Ax(Fx -> ~(Gx & Hx))
=> ALLE AUTOS SIND NICHT (SCHWARZ UND SCHNELL)



Besser:

Für jedes Auto gilt: es ist nicht zugleich schwarz und schnell.

=>
c) ALLE AUTOS SIND NICHT SCHWARZ ODER NICHT SCHNELL
de Morgan



Für jedes Auto gilt: es (entweder) nicht schwarz oder nicht schnell.

Ist die Verneinung von (a) im Ergebnis (c) logisch richtig?



Ja. Wobei Du hier offenbar mit mit einem "spezialisierten" bzw. beschrànk-
ten Quantor arbeitest; man kann das vielleicht (unter Zuhilfenahme der
Mengenterminologie/Schreibweise) so anschreiben:

Ex e F : Gx & Hx

"Es gibt Autos, die schwarz und schnell sind."

Dann gilt (direkter):

~Ex e F : Gx & Hx

"Es gibt keine Autos, die schwarz und schnell sind."
<=>
Ax e F : ~(Gx & Hx)

"Für jedes Auto gilt: es ist nicht zugleich schwarz und schnell."
<=>
Ax e F : ~Gx v ~Hx

"Für jedes Auto gilt: es ist (entweder) nicht schwarz oder nicht schnell."


F.

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