Primz

28/01/2008 - 11:04 von Rupert | Report spam
Hallo!
Ich habe ein bisschen über Primzahlen nachgedacht.
Wenn man eine Liste aller Primzahlen anfàngt aufzuschreiben, dann fàngt
man ja bei 2 an, weil 1 keine Primzahl ist.
Und heureka: 2 ist eine Primzahl.
Wenn man nicht viel nachdenkt, zàhlt man jetzt immer eine Zahl weiter und
überprüft, ob die nàchste eine Primzahl ist.
Aber jetzt weiß man ja schon mal, dass alle geraden Zahlen keine
Primzahlen sind. Also überprüft man, von der nàchstfolgenden Zahl (3) an,
nur noch jede zweite Zahl. Die Liste der noch zu überprüfenden Zahlen wàre
jetzt also 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...
Die nàchste noch zu überprüfende Zahl ist 3. Das ist eine Primzahl.
Heureka... Von den nàchsten noch zu überprüfenden Zahlen (5, 7, 9, ...)
ist jede dritte durch 3 teilbar. Statt nur noch immer Zweierschritte zu
machen, macht man von der nàchstfolgenden noch zu überprüfenden Zahl (5)
an also abwechselnd Zweier- und Viererschritte. Nun ist 5 zufàllig wieder
eine Primzahl (heureka...), und eifrig überlegt man, wie man diese neue
Erkenntnis in den Tanzschritt einarbeiten kann: Nach dem gerade gelernten
(und noch gar nicht angewendeten) Rhythmus würde es jetzt mit
2-4-2-4-2-4... weiter gehen. Die nàchste zu überprüfende Zahl (7) ist also
kongruent 2 modulo 5. Von da würde es mit 4-2-4-2-4-2-... weiter gehen.
Wenn man den 4-2-Tanzschritt fünf mal hintereinander ausführt, wàre man
wieder bei einer Zahl, die kongruent 2 modulo 5 ist und es würde so
periodisch weiter gehen (mit den modulo-5-Kongruenzen, genau wie mit den
anderen). Wir können also den Tanzschritt verfeinern, indem wir in dem
fünffachen 4-2-Schritt jetzt immer alle Zahlen überspringen, die durch 5
teilbar sind und kommen nach eingigem langen Nachdenken darauf, dass wir
von der 7 an den neuen Tanzschritt 4-2-4-2-4-6-2-6 bis in die
Unendlichkeit machen können, ohne dabei auf Zahlen zu stoßen, die durch 2,
3 oder 5 teilbar sind. (Heureka.) Jetzt überprüfen wir die 7. Die 7 ist
eine Primzahl. Wir könnten uns jetzt also schon wieder einen
komplizierteren Schritt ausdenken, um auch um die durch 7 teilbaren Zahlen
herumzutanzen. Aber so langsam verliert man ja auch die Lust. Die nàchste
(von 11 aus getanzte) Choreographie wàre: 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 6 6 2 6 4 2
6 4 6 8 4 2 4 2 4 8 6 4 6 2 4 6 2 6 6 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 10 2 10 Wenn man
sie von 11 aus einmal durchlàuft, kommt man bis 221. Und bis 121(^2)
stößt man damit auf keine Zahl, die nicht prim ist. Heureka... Mir fallen
die Augen zu.
Wenn man die nàchsten Tanzchoreographie von 13 aus durchlàuft, kommt man
bis 2323. Und bis 169(^2) stößt man dabei auf keine Zahl, die nicht
prim ist. Allgemein gilt, dass jeder Tanzschritt, der bei n beginnt, bis
n^2 keine zusammengesetzten Zahlen liefert. Denn es sind ja schon alle
Primzahlen kleiner n in unser Tanzschema eingebaut. Hoffe man kann den
wirren Formulierungen noch folgen... Etwas klarer: Wir tanzen die
Choreographien alle von 1 aus. Die erste Choreographie ist: 1 1 1 1 1 1...
Die liefert alle Primzahlen. Die zweite Choreographie ist: 1 3 5 7 11...
Die liefert alle Primzahlen außer 2 (eben alle Zahlen, die nicht durch 2
teilbar sind). Jetzt der 4-2-Tanz: 1 5 7 11 13 17 19... liefert alle
Primzahlen außer 2 und 3 (eben alle Zahlen, die nicht durch 3 teilbar
sind). Und ebenso kann man die anderen Choreographien von 1 aus tanzen
(wenn man den richtigen Anfangsschritt wàhlt) und so alle Zahlen erhalten,
die nicht durch Zahlen kleiner oder gleich einer bestimmten Primzahl p
teilbar sind. Sei q die nàchstgrößere Primzahl. Dann erhàlt nach der 1 bis
ausschließlich q^2 nur Primzahlen.

Sei p eine Primzahl und q die nàchstgrößere Primzahl, und seien C(p) und
C(q) die zugehörigen Tanzchoreographien (also diejenigen kleinsten, die
von 1 aus getanzt keine durch p bzw. durch q und kleinere Primzahlen
teilbare Zahlen liefern), und seien |C(q)| bzw. |C(p)| die Làngen ihrer
Perioden. Dann ist |C(q)|=q*C(p). Warum, das weiß ich leider noch nicht.

Kaffee... Gebt mir mehr Kafee!
 

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#1 Jonas Werres
28/01/2008 - 11:33 | Warnen spam
Sei p eine Primzahl und q die nàchstgrößere Primzahl, und seien C(p) und
C(q) die zugehörigen Tanzchoreographien (also diejenigen kleinsten, die
von 1 aus getanzt keine durch p bzw. durch q und kleinere Primzahlen
teilbare Zahlen liefern), und seien |C(q)| bzw. |C(p)| die Làngen ihrer
Perioden. Dann ist |C(q)|=q*C(p). Warum, das weiß ich leider noch nicht.



Weil Deine "Choreographie" immer zu einem gemeinsamen Vielfachen führen
muss, und das kleinste ist bei Primzahlen nunmal das Produkt.

Genau so habe ich damals in Info A mein Primzahlenprogramm geschrieben. Die
Schrittliste besonders lang zu machen, lohnt sich natürlich nicht. Würde
man statt bis zur 7 zur 11 gehen, würde sich die Lànge verelffachen, aber
man würde nur jede 11. Zahl zusàtzlich überspringen. Das lohnt sich schon
sehr schnell nicht mehr.

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