Forums Neueste Beiträge
 

Prinzip der kleinsten Wirkung

30/09/2008 - 14:35 von Arnold Neumaier | Report spam
Norbert Dragon schrieb am 23.04.2008
(im Thread Vorzeichen der Legendre Transformation):


Im wichtigen Fall des harmonischen Oszillators ist die Wirkung
Integral dt (1/2 m v^2 - 1/2 k x^2)
nicht nach unten beschrànkt.

Gegenbeispiel:
t-Bereich zwischen Null und Eins, k/m > 12, x(0)=x(1)=0

x(t) = 2t für t < 1/2
1-2t für t > 1/2 .

Die Wirkung 1/2 m (4 - k/3m) dieser Bahn ist negativ. Insbesondere
unterschreitet die Wirkung der Bahn A*x(t) jede untere Schranke.

Jetzt bin ich endlich dazu gekommen, das nachzurechnen, und
ich gebe Ihnen recht.


Nun frage ich mich allerdings, warum dann oft vom
''Prinzip der kleinsten Wirkung'' die Rede ist.

Es scheint so, als m"usse ein stabiles mechanisches System wenigstens
in einem lokalen Minimum der Wirkung sein, Jedenfalls im "ublichen Fall,
wo die kinetische Energie eine evtl. von q abh"angige positiv definite
quadratische Form in p ist.

Oder ist selbst das nicht der Fall?

Vielleicht kennt sich jemand hier aus...


Arnold Neumaier
 

Lesen sie die antworten

#1 Norbert Dragon
30/09/2008 - 14:55 | Warnen spam
* Arnold Neumaier schreibt:

* Norbert Dragon schrieb am 23.04.2008

Im wichtigen Fall des harmonischen Oszillators ist die Wirkung
Integral dt (1/2 m v^2 - 1/2 k x^2)
nicht nach unten beschrànkt.

Nun frage ich mich allerdings, warum dann oft vom
''Prinzip der kleinsten Wirkung'' die Rede ist.



Aus Nachlàssigkeit. Genauer ist die Bezeichnung
''Prinzip der stationàren Wirkung''.

Bemerkenswert ist vielleicht, daß die Wirkung zwischen je zwei
genügend benachbarten Punkten der durchlaufenen Bahn minimal sein
kann, obwohl sie für làngere Bahnstücke nur noch stationàr ist.

Es scheint so, als m"usse ein stabiles mechanisches System wenigstens
in einem lokalen Minimum der Wirkung sein,



Mit Stabilitàt hat das nichts zu tun.

Vielleicht kennt sich jemand hier aus...



Das Beispiel der Geodàten in einem Riemannschen Raum ist vielleicht
hilfreich: für genügend benachbarte Punkte auf einer Geodàten ist sie
die kürzeste Verbindung. Enthàlt sie jedoch mit einem Punkt P auch einen
fokalen Punkt P', zu dem man von P auf zwei verschiedenen, gleich langen
Geodàten gelangen kann, dann ist sie jenseits des konjugierten Punktes
nicht mehr die kürzeste Verbindung.

Seite 132

http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/relativ.ps.gz

Aberglaube bringt Unglück

www.itp.uni-hannover.de/~dragon

Ähnliche fragen